ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

. (1)

Чтобы подчеркнуть дискретный характер изменения времени, это уравнение часто записывают в форме

Разностные уравнения третьего и более высоких порядков записываются аналогично.

Известны два основных метода решения линейных разностных уравнений – с помощью характеристического полинома и с использованием z-преобразования, аналогичного преобразованию Лапласа.

1.1. Решение разностных уравнений с помощью характеристического полинома

Будем искать решение однородного разностного уравнения в виде x(t)=z^t, где z – некоторое число. Подставляя x(t) в разностное уравнение (1) при f(t)=0 и сокращая на z^t, получаем характеристическое уравнение

Если его корни z₁, z₂ вещественные и различные, то общее решение имеет вид:

Если z₁=z₂,,то в решении появляется линейный множитель

В случае пары комплексно-сопряженных корней z_1,2=a±ib решение может быть записано в вещественной форме

, .

Здесь r – модуль комплексного числа z₁, а j – его аргумент.

Формулы для уравнений более высоких порядков выглядят так же, просто увеличивается число слагаемых в решении.

Пример 1. Решим разностное уравнение x(t+2) –5x(t+1) + 6x(t) = 0.

Характеристическое уравнение имеет вид z² –5z + 6 = 0.

Его корни вещественные и различные: z₁ = 3, z₂ = 2.

Общее решение: x(t) = c₁3^t + c₂2^t.

Пример 2. Решим разностное уравнение x(t+2) + 2x(t+1) + 4x(t) = 0.

Характеристическое уравнение: z² + 2z + 4 = 0. У него комплексные корни: . Их положение на комплексной плоскости z = α +ib показано на рис. 1.

Модуль и аргумент корней можно найти непосредственно на рис.1: .

Общее решение:

Произвольные постоянные c_i находят, задавая начальные условия. Пусть, например, в примере 2 заданы начальные условия x(0)=2; x(1)= –4. Записываем общее решение для t=0 и t=1:

Отсюда находим с₁=2, с₂=0. Следовательно, решение имеет вид

Общее решение неоднородного разностного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищут в том же виде, что и правая часть, т.е. функция f(t) в уравнении (1):

– если f(t) – постоянная, то в виде константы;

– если f(t) – экспонента, то в виде экспоненты с тем же показателем;

– если f(t) =sin kt или cos kt, то в виде c₁sinkt+c₂coskt.

Коэффициенты с₁ и с₂ находят, подставляя частные решения в разностное уравнение и приравнивая одноименные функции справа и слева.

Пример 3. Дано неоднородное разностное уравнение второго порядка

Находим корни характеристического полинома

Частное решение ищем в виде x_част=c. Подставляя его в исходное уравнение, находим, что x_част=2.

Общее решение неоднородного уравнения получаем как сумму частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения

Коэффициенты с₁, с₂ находим из уравнений , откуда .

1.2. Решение разностных уравнений с помощью z-преобразования

При описании дискретных систем и решении разностных уравнений широко применяется аппарат z-преобразования – это дискретный аналог преобразования Лапласа. Например, умножение изображения F(p) на оператор Лапласа p соответствует дифференцированию непрерывной функции f(t). Умножение изображения F(z) на оператор z соответствует сдвигу функции f(t) (которая может быть непрерывной, дискретной или решетчатой) на один такт.

Таким образом, если операторы р и 1/р – это операторы дифференцирования и интегрирования, то операторы z и z^-1 – это операторы сдвига влево и вправо. С инженерной точки зрения оператор z^-1 представляет собой элемент задержки.

Существуют также определенные параллели между изображениями функций F(p) и F(z). Например, изображению по Лапласу F(p) = 1 соответствует дельта-функция f(t) = d(t), а изображению F(z) = 1, соответствует единичный импульс. В том и другом случае оригиналом является элементарное импульсное воздействие.

Краткая таблица z-преобразований других функций приведена в Приложении.

Пусть дано разностное уравнение n-го порядка

y(t+n)+a_n_-1y(t+n–1)+ ... +a₀y(t)=f(t) (2)

с начальными условиями y(0)=y₀; y(1)=y₁; ...; y(n–1)=y_n_-₁.

Алгоритм его решения с помощьюz-преобразования содержит 4 шага.

Шаг 1. Применить z-преобразование к уравнению (2), заменяя f(t) на F(z), y(t) на Y(z); y(t+1) на z(Y(z)–y₀) и т.д.

Шаг 2. Из полученного алгебраического уравнения выразить Y(z).

Шаг 3. Выполнить разложение Y(z) на простые дроби.

Шаг 4. Пользуясь таблицей, выполнить обратное z-преобразование.

Результатом будет искомое решение разностного уравнения.

Пример 4. Требуется решить разностное уравнение второго порядка

y_n₊₂ –5 y_n₊₁+6y_n = u_n

с нулевыми начальными значениями y₀, y₁и входным сигналом u_n=1.

Шаг 1. Применяем к нему z-преобразование

Шаг 2. Выражаем Y(z) и подставляем :

Шаг 3. Представляем правую часть в виде суммы простых дробей с переменной z в числителе:

.

В отчете разложение делается методом неопределенных коэффициентов. В пакете MATLAB это можно сделать с помощью команды residue.

Шаг 4. С помощью таблицы z-преобразований или команды iztrans тулбокса SYMBOLIC пакета MATLAB находим оригиналы каждого из слагаемых и складываем их:

y_n=0,5–2ⁿ +0,5×3ⁿ.

1.3. Система линейных разностных уравнений

Матричная запись системы линейных однородных разностных уравнений имеет вид

X(t+1)=AX(t), X(0)=X₀, (3)

где – вектор переменных, А – квадратная матрица постоянных коэффициентов,
X₀ – вектор начальных условий.

Решение этой системы может быть записано в компактной степенной форме

X(t)=A^tX₀. (4)

При работе в пакете MATLAB этот способ удобнее всего.

Пример 5. Найдем решение системы разностных уравнений второго порядка

x(t+1) = 2x(t),

y(t+1) = –2x(t) +2y(t),

если .

Матричное описание задачи имеет вид

X(t+1)=AX(t), , .

Для получения решения воспользуемся степенной формулой. Последовательно возводя матрицу А в степени 2, 3, ..., n (проделайте это!), находим

Aⁿ = 2ⁿ , X(t)=A^tX₀=

Переходя к скалярной форме записи, получаем окончательный ответ x = 2^t, y = (20–t) 2^t.

Другой путь решения этой задачи связан с переходом от системы двух разностных уравнений первого порядка к одному уравнению второго порядка относительно y:

y(t+2) – 4y(t+1) + 4y(t) = 0.

Оно получается, если выразить из второго уравнения x(t), x(t+1) и подставить в первое.

1.4. Моделирование дискретных систем в MATLAB и SIMULINK

В MATLAB при моделировании линейных системы с дискретным временем используются разностные уравнения, модели в пространстве состояний и дискретные передаточные функции. В ядре MATLAB имеется команда filter,позволяющая рассчитать выходной сигнал фильтра по известному входному сигналу, заданному массивом своих значений. Ее входными аргументами являются векторы а и b коэффициентов разностного уравнения, а также массив значений сигнала и: y=filter(b,a,u). С помощью четвертого входного аргумента можно задавать начальные условия фильтра.

Дискретная система в пространстве состояний, как и непрерывная система, задается четверкой матриц:

(5)

Здесь – вектор состояния; u_k, y_k – входной и выходной сигналы, A, B, C, D – постоянные матрицы.

Дискретной передаточной функцией линейной системы (5) называется отношение z-преобразования выходного сигнала к z-преобразованию входного сигнала при нулевых начальных условиях Q(z) = Y(z)/U(z). Для систем с одним входом и одним выходом она представляет собой отношение двух полиномов

Дискретная передаточная функция системы, заданной описанием в пространстве состояний (5), может быть найдена по формуле Q(z)=C(zE-A)^–1B+D.

Дискретные модели в MATLAB задаются при помощи тех же конструкторов ss, tfи zpk, что и непрерывные с той разницей, что последним параметром задается частота дискретизации ts(sampling time).

Пример 6.Рассмотрим дискретную систему, описываемую уравнениями

при шаге дискретизации, равном 1.

Создадим соответствующую ss-модель с дискретным временем:

>> a=[-1 -1/2 ;1/2 -1]; b=[1;0]; c=[0 1]; d=0; ts=1.0; s1=ss(a,b,c,d, ts).

На дисплей будут выведены матрицы:

a = -1 -0.5 0.5 -1 b = 1 c = 0 1 d = 0

и сообщение: Sampling time: 1.0 Discrete-time model.

Аналогично создаются tf и zpk-модели с дискретным временем. Обращение к полям дискретной модели осуществляется так же, как и у непрерывной, например для вывода матрицы c надо набрать код s1.c . Время дискретизации хранится в поле ts.

Для моделирования дискретных систем используются те же команды (step, impulse, initial, lsim), что и в непрерывном случае. При получении весовой функции дискретных систем вместо реакции на дельта-функцию рассматривают реакцию на единичный импульс вида . Для этого используется та же команда impulse. Реакцию на единичный скачок (переходную функцию) получают при помощи команды step.

В тулбоксе SYMBOLIC имеются команды ztrans и iztrans для выполнения прямого и обратного z–преобразований.

Пример.Дискретная система задана уравнениями

Найдем двумя способами (символьным и численным) передаточную функцию от входа u до выхода у.

В данном случае имеем следующие матрицы описания в пространстве состояний

Символьный способ. Дискретную передаточную функцию получаем по формуле Q=C(zE-A)^–1B:

>>syms z;

>>А=[0 1;-6 5];В=[0; 7];С=[0 1]; %ввод матриц

>>Q=С*inv(z*eye(2)-А))*В %передаточная функция

Q=7*z/(z^2-5*z+6), %результат

Численный способ. Используем команды тулбокса CONTROL:

>> A=[0 1;-6 5];B=[0; 7];C=[0 1];

>>sd=ss(A,B,C,0,1); % Discrete-time model Sampling time: 1, .

>> s=tf(sd)

Transfer function: 7 z ------------- z^2 - 5 z + 6

В обоих случаях получаем одинаковый результат: .

Моделирование дискретных систем в SIMULINK производится так же, как и непрерывных. На рисунке приведены основные блоки из библиотеки Discrete.

Блок задержки Unit delay позволяет строить схемы моделирования методом Кельвина. Блоки Discrete Transfer Fcn (дискретная передаточная функция) и Discrete Filter (дискретный фильтр) определяют рациональную функцию отношения полиномов от оператора z и обратного оператора соответственно.