Цель работы: исследовать теоретически и с помощью пакета MATLAB устойчивость, управляемость, наблюдаемость и минимальность системы управления, заданной структурной схемой, и построить ее модель пониженного порядка.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
1.1 Анализ устойчивости.
Понятие устойчивости является одним из основных в теории управления. Устойчивой называют систему, которая, будучи выведена из состояния равновесия, стремится вновь вернуться в это состояние. Для неустойчивых систем характерна обратная тенденция. Примером неустойчивой системы может быть карандаш, стоящий на острие. Обычно исследование устойчивости систем сводится к анализу устойчивости соответствующих дифференциальных уравнений. У неустойчивых уравнений решение неограниченно возрастает со временем. В теории автоматического управления существуют различные методы анализа устойчивости. Для линейных систем разработаны критерии устойчивости, которые можно разделить на корневые, алгебраические и частотные.
Корневойкритерий устойчивости.
Для того чтобы линейная динамическая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения лежали в левой комплексной полуплоскости.
Например, математическая модель системы, описываемой дифференциальным уравнением
устойчива, так как корни характеристического уравнения р2+2р+5=0 имеют отрицательные вещественные части p1,2= –1±2i, т.е. лежат слева от оси ординат.
Алгебраический критерий устойчивости.
Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости на основе анализа коэффициентов характеристического полинома. Наибольшую известность получил критерий устойчивости Гурвица. Из него, в частности, следует, что все коэффициенты устойчивого дифференциального уравнения должны быть положительны.
Для уравнений второго порядка это необходимое и достаточное условие.
Для уравнений третьего порядка
,
помимо положительности коэффициентов, должно выполняться дополнительное условие, а именно, произведение средних коэффициентов должно быть больше произведения крайних: а2а1>а0а3. Например, уравнение неустойчиво, так как 2×0,5<1×3.
Частотный критерий устойчивости.
Частотные критерии носят графический характер. Они опираются на анализ графиков частотных характеристик – АЧХ, ФЧХ, АФХ (последняя известна также как диаграмма Найквиста). Часть из них позволяет делать заключение об устойчивости замкнутой системы управления по частотным характеристикам разомкнутой системы.
Приведем в качестве примера критерий Найквиста. Обозначим передаточную функцию разомкнутой системы Q(p) и охватим ее единичной отрицательной обратной связью (рис. 1).
Пусть известно, что разомкнутая система устойчива. Тогда для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста разомкнутой системы не охватывал точку с координатами (-1, 0j) на комплексной плоскости.
В тулбоксе CONTROL пакета MATLAB диаграмма Найквиста системы sys строится командой nyquist(sys), указанная точка помечена на ней красным крестиком.
В лабораторной работе исследуется система управления, заданная структурной схемой, поэтому для анализа устойчивости надо сначала найти ее передаточную функцию. Структурная схема исследуемой системы приведена на рис. 2. В ее состав входят три апериодических звена, а также суммирующие и вычитающие звенья.
В схеме можно указать три пути от входа до выхода с передаточными функциями
Рис. 2. Структура исследуемой системы
Общая передаточная функция получается, как их сумма
(1)
Здесь A(p) и B(p) – некоторые полиномы от p (свои для каждого варианта).
Характеристический полином системы равен знаменателю этой передаточной функции
(2)
На основе приведенных выше критериев устойчивости можно заключить, что если коэффициенты T1, T2, T3 положительны, то система будет устойчивой. Анализ устойчивости замкнутой системы можно осуществить с помощью критерия Найквиста.
1.2. Анализ управляемости и наблюдаемости.
Понятия управляемости и наблюдаемости широко используются в современной теории автоматического управления. Линейная система называется управляемой, если с помощью входного сигнала ее можно перевести из начала координат в любую точку пространства состояний. Система называется наблюдаемой, если по измерениям входного и выходного сигналов можно однозначно определить ее начальное состояние.
Анализ управляемости и наблюдаемости выполняется с помощью матриц управляемости и наблюдаемости или с помощью грамианов управляемости и наблюдаемости. Те и другие строятся по описанию в пространстве состояний
(3)
Чтобы получить такое описание, воспользуемся структурной схемой, приведенной на рис. 2. Выпишем операторные уравнения для каждого блока схемы
и преобразуем их к виду
Выполняя обратное преобразование Лапласа, получаем систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Кроме того, имеем алгебраическое уравнение для выходного сигнала y=x1–x3.
Переписывая эти уравнения в матричной форме (3), получаем следующие выражения для матриц A, b, c:
где ненулевые элементы матриц имеют вид
Теперь можно перейти к анализу управляемости и наблюдаемости. Сформируем на основе матриц A, b, c две вспомогательные матрицы
,
Матрицы R и D называются соответственно матрицей управляемости и матрицей наблюдаемости системы. В пакете MATLAB их можно построить с помощью команд ctrbиobsv.
Критерийуправляемости. Для того чтобы система (3) была управляемой, необходимо и достаточно, чтобы матрица управляемости имела полный ранг rankR=n.
Критерийнаблюдаемости. Для того чтобы система (3) была наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы матрица наблюдаемости имела полный ранг rankD=n.
В случае систем с одним входом и одним выходом матрицы R и D квадратные, поэтому для проверки управляемости и наблюдаемости достаточно вычислить определители матриц R и D. Если они не равны нулю, то матрицы имеют полный ранг.
Другой способ проверки управляемости и наблюдаемости опирается на вычисление грамианов управляемости и наблюдаемости. Так называются симметричные квадратные матрицы Wc и Wo, определяемые равенствами
.
В пакете MATLAB их можно найти с помощью команд типа gram(sys, ‘c’), gram(sys, ‘o’). Необходимые и достаточные условия управляемости и наблюдаемости имеют вид det Wc¹0, det Wo¹0.
1.3 Анализ минимальности моделей.
Одной и той же передаточной функции Q(p) можно сопоставить целый класс эквивалентных реализаций в пространстве состояний, характеризуемых различными тройками матриц (A, b, c) разных, вообще говоря, размеров. Реализация называется минимальной, если размер ее матрицы A наименьший среди всех эквивалентных реализаций. Поиск такой реализации имеет практический смысл, так как ее моделирование на ЭВМ требует меньших вычислительных затрат.
Для анализа минимальности реализации нужно проверить ее управляемость и наблюдаемость.
Критерийминимальности. Для того чтобы реализация (3) была минимальной, необходимо и достаточно, чтобы она была управляемой и наблюдаемой одновременно.
Таким образом, анализ минимальности конкретной реализации сводится к проверке пары критериев rankR=n, rankD=n.
Если хотя бы один из рангов меньше n, то реализация неминимальна. Размерность эквивалентной минимальной реализации n0 определяется по формуле n0= rank(RD).
Анализ минимальности с помощью грамианов управляемости и наблюдаемости проводится аналогично. Критерием минимальности служит выполнение условия det(WcWo)¹0, эквивалентного паре условий det Wc¹0, det Wo¹0.
Если исходное описание реализации оказалось неминимальным, то возникает задача перехода к минимальной реализации. Чтобы решить ее, сначала перейдем от описания в пространстве состояний (3) к передаточной функции
(4)
Далее нужно выделить общий множитель в числителе и знаменателе передаточной функции Q(p) и сократить на него. Эта процедура известна, как сокращение совпадающих нулей и полюсов системы.
Отметим ряд соотношений между элементами матриц А, b, c и коэффициентами передаточной функции, вытекающих из формулы (4),. Знаменатель передаточной функции совпадает с характеристическим полиномом матрицы А
А(p)=det(pE-A) = pn + an-1pn-1 +...+ a1p + a0.
Его корни l1, ..., ln равны собственным числам матрицы А, а коэффициенты а0 и an-1 с точностью до знака равны ее определителю и следу
a0 = det(-A )= (-1)n l1l2 ...ln,
(5)
-an-1 = trA = a11 + a22 +...+ ann = l1 +l2 +...+ln.
Старший и младший коэффициенты числителя передаточной функции
В(p)= bn-1pn-1 +...+ b1p + b0
удовлетворяют соотношениям
bn-1 = cb, b0/ a0= - c A-1 b. (6)
Величина k0= b0/ a0 называется статическим коэффициентом усиления. Она равна установившемуся значению переходной функции системы. В пакете MATLAB для вычисления статического коэффициента усиления имеется команда dcgain (от direct current gain – коэффициент усиления по постоянному току). В ее основу положена формула k0=Q(0).
Приведенные соотношения удобно использовать для контроля вычислений.
Получение минимальной реализации в пакете MATLAB осуществляется командой minreal, для вычисления нулей и полюсов можно использовать функции zero, pole, pzmap, zpk.Аргументом во всех случаях служит исследуемая система sys, предварительно сформированная командами ss или tf.
2. ЗАДАНИЕ ПО РАБОТЕ И СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
1. Нарисовать схему рис.2 для своего варианта и найти ее передаточную функцию по формуле (1).
2. Проверить устойчивость системы, используя алгебраический и корневой критерии.
3. Получить для своего варианта схемы описание в пространстве состояний вида (3) и выписать матрицы A, В, С.
4. Найти матрицы управляемости и наблюдаемости системы, определить их ранги и сделать вывод об управляемости, наблюдаемости и минимальности системы.
5. Найти передаточную функцию по формуле (4), и сравнить ее с полученной в п.1. Проверить выполнение соотношений (5), (6). Тремя способами (по структурной схеме, передаточной функции и описанию в пространстве состояний) найти статический коэффициент усиления системы.
6. Определить порядок минимальной реализации и найти ее передаточную функцию, выполнив сокращение нулей и полюсов. Найти реакцию минимальной реализации на единичный скачок и построить ее график.
7. Привести программы на языке MATLAB для выполнения пунктов 2 – 6 и краткое описание назначения и синтаксиса команд rank, ss, tf, zpk, zero, pole, pzmap, ctrb, obsv, minreal, dcgain.
3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. В диалоговом режиме пакета MATLAB ввести матрицы A, b, c и сформировать ss-описание системы sys=ss(A, b, c, 0). Используя команды pole, eig, pzmap, найти полюсы системы и получить график их расположения на комплексной плоскости. Сделать вывод об устойчивости. Построить диаграмму Найквиста системы и сделать заключение об устойчивости системы, охваченной обратной связью (рис.1).
2. Найти матрицы управляемости и наблюдаемости, вычислить их определители и ранги. Сделать вывод об управляемости, наблюдаемости и минимальности. Найти грамианы управляемости и наблюдаемости.
3. С помощью команд tfи zpk перейти к передаточной функции. Двумя способами получить минимальную реализацию (сокращая нули и полюса, и с помощью команды minreal). Сравнить переходные функции исходной и минимальной реализаций, а также их статический коэффициент усиления.
4. Набрать схемы исходной и минимальной реализаций в SIMULINK и сравнить их реакции на одинаковые входные сигналы.
4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Найти передаточные функции систем, заданных в пространстве состояний тройкой матриц:
2. Найти ранги матриц управляемости и наблюдаемости для систем из п.1.
3. Нарисовать структурные схемы систем, матрицы которых приведены ниже.
,
неустойчиво, так как 2×0,5<1×3.
(1)
(2)
(3)
, 
.
(4)
