Краткие теоретические сведения.

Если объект управления не содержит интегрирующего звена, то введение обратной связи по переменным состояния хотя и обеспечивает (при правильном выборе ООС) необходимые динамические свойства замкнутой системы, но не обеспечивает заданной точности слежения за входным сигналом. В этом случае вводится дополнительная обратная связь по выходной координате системы, а в цепи рассогласования устанавливается интегратор с определенным коэффициентом усиления так, что структура замкнутой системы выглядит как на рис. 2.

Рисунок 2 - Структурная схема замкнутой системы

Такая система описывается системой матричных и алгебраических уравнений вида:

Приведенные уравнения можно представить в матричной форме записи (для t>0):

Мы хотим построить асимптотически устойчивую систему, такую, что и принимают конечные значения, а и . Для матричные уравнения справедливы:

С учетом того, что для t>0, вычтем матричные уравнения и введем новые переменные . Тогда матричные уравнения могут быть переписаны в следующем виде:

Определим новый (n+1)-мерный вектор ошибки , тогда , где , а уравнения для регулятора преобразуется к виду: .

В результате проведенных преобразований задача синтеза регулятора для введения ООС по переменным состояния и ООС по выходу системы с введением в цепь управления интегратора сведена к задаче синтеза модального регулятора (по расположению полюсов замкнутой системы), алгоритм которого известен. Однако, прежде чем проектировать регулятор , необходимо проверить, управляема ли система . Это можно проверить по критерию управляемости Калмана или по рангу матрицы . Ранг матрицы Р должен быть равен n+1.

Алгоритм синтеза регулятора представлен следующей последовательностью действий:

1. Для объекта (А, В, С) составляется матрица Р и проверяется ее ранг. Он должен быть равен n+1.

2. Составляются матрицы преобразованной системы.

3. Определяются по коэффициенты характеристического полинома а₁, а₂, … а_n, а_n+1.

4. Выбирается расположение полюсов замкнутой системы в соответствии с заданными показателями качества системы, и по ним составляется матрица размерности (n+1, n+1), диагональными элементами которой являются полюса замкнутой системы.

5. Вычисляются коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы аа₁, аа₂, … аа_n, аа_n+1.

6. Составляется матрица .

7. Составляется матрица из коэффициентов а₁, а₂… а_n.

8. Вычисляются матрицы и .

9. Вычисляется матрица регулятора K =[aa_n₊₁-a_n₊₁, aa_n-a_n, … aa₂-a₂, aa₁-a₁]*T^-1= [k₁ k₂ k₃ … k_n -K_i].

10. Для спроектированного регулятора проверяется качество замкнутой системы, для чего формируются матрицы

11. С помощью команд [t,x,y]=step(AA,BB,CC,DD); plot(t,y, t,x)стоятся переходные функции, и по ним оценивается качество системы.