x = φ(t), t 
[α, β] ;
y = ψ(t),
Функции ψ(t), φ(t), φ'(t) непрерывны на отрезке [α, β], причем φ'(t) ≠ 0.
Используем формулу:
L = 
dx, ранее было установлено, что 
(для параметрической функции), и пусть φ(α) = а; φ(β) = b, найдем dx = φ'(t)dt, тогда сделаем замену в интервале
L = 
dx = 
φ'(t)dt = 
dt
или L = 
dt.
Пример: найти длину одной арки циклоиды.
x = a (t –sin(t)),
y = a (1 –cos(t)), t [0, 2π];
x´t = a (1 –cos(t)); y´t = a sin(t);
= 
= a 
= a 
=
= a 
= 2a sin 
;
y
0 2πa x
L = 
2a sin dt = 4a sin d( ) = –4a cos 
= –4a (-1-1) = 8a;
L = 2 
2a sin dt = 8a sin d( ) = –8 a cos 
= 8a;
