Дана функция y = ƒ(x), непрерывная на отрезке [a,b], вместе с ƒ '(x).
Определение: за длину дуги кривой принимается предел, к которому стремится длина вписанной ломанной линии, когда число звеньев этой ломанной неограниченно увеличивается.
B
ΔLi
y ƒ(x) Δyi
Δxi
ΔL1
A
ξi
0 a=x0 x1 xi-1 xi b=xn x
Разобьем отрезок [a,b]на nчастей точками a0 = x0 < x1 <..< xi-1< xi <..< xn = b;
Проведем ординаты через точки деления и соединим хордами их концы. Длины звеньев ломанных обозначим: ΔL1, ΔL2, …, ΔLi, …, ΔLn.
Проведем прямую параллельную Ох .
Δyi = ƒ(xi) - ƒ(xi-1).
Длина ломанной линии Ln :
Ln = 
, а длина кривой по определению: L = 
ΔLn = ;
Найдем ΔLi.
ΔLi = 
= 
;
; ( по теореме Лагранжа)
так поступаем с каждым звеном, тогда ΔLi = 
, так как по условию ƒ(x) и ƒ´(x) непрерывны на отрезке [a,b], то функция 
- непрерывна на отрезке [a,b], а значит существует определенный интеграл: 
dx.
Итак, L = 
= dx = 
dx.
Пример: найти длину окружности.
x2 + y2 = a2;
y = 
; значит L = 4 
dx ;
y´ = 
;
4 
dx = 4 
dx = 4a 
= 4a arcsin 
= 4a (π/2) = 2πa.
