Рассмотрим полярную систему координат. В ней задана функция p=ƒ(φ), где ƒ(φ) непрерывна на отрезке [α, β].
p = ƒ(φ)
Δφi
β
α
0 P
Разобьем эту фигуру лучами:
α = φ0 < φ1 < .. < φi-1 < φi <..< φn = β
Δφi = φi – φi-1, i = 
;
В каждом частичном отрезке [φi-1, φi ] выберем произвольное значение функции в этих точках, то есть 
. Каждый криволинейный сектор заменим круговым сектором с радиусом , так поступим с каждым в отдельности круговым сектором. Площадь одного кругового сектора: Si = 
.
Просуммируем эти секторы, получим:
Sn = 
= 
= 
;
За площадь криволинейного сектора принимается предел, к которому стремится площадь «ступенчатой фигуры», когда число точек деления неограниченно увеличивается.
S = 
Sn = ,
Так как функция ƒ(φ) – непрерывна на отрезке [α, β], то этот предел есть определенный интеграл.
S = 
= 
;
S = - площадь криволинейного сектора.
Пример: найти площадь фигуры, ограниченной кривой
p = a cos3φ; где а =const ; p≥0;
π/6
0 a p
1. p=a; cos3φ=1; 3 φ = 0 + 2πn; φ= 
;
при n=0; φ=0;
n=1; φ= 
;
n=2; φ= 
;
2. p = 0; cos3φ=0; φ= 
;
φ= 
; φ= – ;
S= 6· 
= 3 
= 3a2 
= 
=
= 
= 
;
