Площадь криволинейной трапеции, если функция задана параметрически.

Пусть кривая задана параметрически, уравнениями:

х = φ(t) , t

y = ψ (t),

где φ(t), φ'(t) и ψ (t) непрерывны на отрезке [α,β].

S = = = |сделаем замену переменной| = | x = φ(t), dx = φ'(t)dt; |;

S = = | φ(α) =a; φ(β) =b; | = .

S = = .

Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и одной аркой циклоиды.

x = a( t-sin(t) ); y

y = a ( 1- cos(t));

при t = 0; x=0; y=0;

t = π; x=aπ; y=2a;

t = 2π; x=2πa; y=0;

φ'(t) = a – acos(t) = a (1-cos(t));

0 aπ 2aπ x

S = = = a2 = a2 =

= a2 = a2 = 3πa2.

Пример2: Найти площадь фигуры, ограниченной кривой заданной параметрически:

x = a sin3(t); y

y = a cos3(t);

при t = 0; x=0; y=a; a

t = π/2; x=a; y=0;

t = π; x=0; y= -a; -a a

t=3π/2; x=-a; y=0; 0 x

t = 2π; x=0; y=a;

достаточно рассмотреть одну четверть: - a

S = 4 ;