● 
●
.
1) Дугу 
разобьем на «n» частей точками произвольным образом, 
-это длины дуг участков деления.
2) Выбираем точки на каждом участке деления 
дуги , 
.
3) Найдем значения функции 
в выбранных точках, 
или 
.
4) Составляем интегральную сумму:
5) Переходя к пределу при 
получим:
- криволинейный интеграл I-го рода.
3-ий случай.
●
, т.е функция принимающая в каждой точке из определенное значение.
-ограниченная, замкнутая и квадрируемая (имеет определенную площадь) область.
Выполним следующие операции:
1) Область разобьем произвольным образом на n – квадрируемых частей. Занумеруем их и обозначим 
-ую часть и ее площадь через ; -элемент разбиения. 
.
2) В каждой получившейся при этом части 
выберем произвольно точку , 
и вычислим .
3) Каждое значение умножим на площадь соответствующей части, т.е. составим произведения вида:
Это выражение называется элементом суммы.
4) Составим сумму всех этих произведений:
Эту сумму будем называть двумерной или двойной интегральной суммой.
5) Найдем предел суммы 
при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частей разбиения (при этом число частей разбиения будет неограниченно возрастать при 
).
Это двойной интеграл от функции 
по области .
