ГЛАВА 11. КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

§11.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ , КРИВОЛИНЕЙНЫХ, ДВОЙНЫХ, ТРОЙНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Df.1 Назовем фигурой либо линию в пространстве, или на плоскости, в частности это может быть отрезок оси, либо плоскую область, либо некоторое пространственное тело, либо поверхность в пространстве.

1) ● 2) ●

● ●

0 ● 0

●

3)

●

●

●

Df.2 Назовем диаметром фигуры максимальное из расстояний между двумя точками этой фигуры. Т.е. .

и т.д.

Df.3 Рассматривая фигуры различных типов будем говорить о их мере. Т.е. термин «мера» - мера множества A:

Если , то - площадь множества A; , то - объем множества A.

Аналогично понятие меры обобщается на .

В случае линий под мерой будет пониматься их длина, а случае пространственных тел – площадь.

Пусть на каждой фигуре G задана скалярная функция f(P)/

Для каждой фигуры совершим одни и теже действия.

1. Разобьем каждую фигуру произвольным образом на n- частей.

2. На каждой части возьмем точку и определим значение функции в этой точке .

3. Значение умножим на меру соответствующей части.

4. Все полученные произведения суммируем (т.е. сложим).

Df.4 Полученная в результате перечисленных операций сумма, носит

название «n-ой» интегральной суммы.

Пусть , G – измеримое множество. -совокупность подмножеств множества G, что:

а) .

б) .

Тогда есть разбиение G. Так например:

n=2.

0

Используя обозначение :

Df.5 Шагом (мелкостью) разбиения называется , где - это расстояние , - длина максимальной хорды.

Пунктированным разбиением множества совокупность разбиения и набора точек , обозначение .

Очевидно, данному разбиению может соответствовать бесконечно много пунктированных разбиений в зависимости от расположения точек . Шаг пунктированного разбиения:

.

Пусть на определена скалярная функция , фиксируем некоторое пунктирное разбиение . Сумма вида:

(1)

называется интегральной суммой Римана или просто интегральной суммой.

Кратным интегралом (интегралом Римана) от функции , по множеству называется:

=

,

если последний предел существует и конечен.

При n=2 (двойной интеграл), :

, - площадь .

Обозначение:

При n=3 (тройной интеграл), :

.

.

- объем .

Отметим, что при n=1 это определение отлично от данного ранее. Здесь любое измеримое множество, а не отрезок, как в определенном интеграле. Однако можно показать их эквивалентность.

Df.6 Если определена на и интегрируема на по Риману. - множество функций, интегрируемых по Риману на .

Для всех рассматриваемых фигур, пользуясь предложенной схемой, составим интегральные суммы.