ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Рассмотрим интеграл вида (8.1)

где - рациональная функция от и

В общем случае интеграл вида (8.1) всегда может быть приведен к интегралу от рациональной алгебраической функции с помощью универсальной тригонометрической подстановки

(8.2)

При этом

Так как то

Пример 1.

т.е. получили интеграл «арктангенсного» типа (см. (4.2)).

В некоторых случаях интегралы вида (8.1) берутся проще другими приёмами:

1. Если подынтегральная функция меняет свой знак при замене на , то подынтегральное выражение приводится к рациональной дроби подстановкой t = cos x

Пример 2.

2. Если при замене на подынтегральная функция меняет знак, то следует делать замену переменной Пример можно подобрать самостоятельно (или см. вопрос 5 для самопроверки).

3. Если при одновременной замене на и на подынтегральная функция не меняет знака, то следует делать замену переменной

Пример 3.

В итоге преобразований получили интеграл от рациональной дроби.

Прежде чем использовать вышеперечисленные способы интегриро-вания рациональных выражений от тригонометрических функций, имеет смысл попробовать преобразовать подынтегральную функцию с целью получения интегралов от более простых выражений.

Пример 4.

Пример 5.

В вычислении интегралов вида

подынтегральные произведения следует представить в виде сумм

Вопросы для самопроверки.

1. Что такое универсальная тригонометрическая подстановка?

2. Как выражаются , , и через тангенс половинного угла?

3. Покажите, что

а) 8.3)

б) (8.4)

4. Вычислите

5. Вычислите

6. Вычислите