МЕТОД ЗАМЕНЫ аргумента

Метод введения нового аргумента (метод подстановки) основан на следующей теореме.

Теорема. Если и существует производная , то

. (4.1)

Используя эту теорему, расширим таблицу простейших интегралов, приведённых в § 2.

Пример 1.

Обозначим , тогда .

.

Таким образом,

(4.2)

Полученная формула является обобщением формулы (2.16). Последняя получается из (4.2) при .

Пример 2.

Пусть , тогда . (4.3)

Полученная формула является обобщением формулы (2.15). Целесообразно сравнить ход решения примера (4.3) с решением примера 6 из вопросов для самопроверки предыдущего параграфа.

Пример 3.

Положим , тогда ,

.

(4.4)

Если ,

то Теперь следует обратиться к первому из вопросов для самопроверки в конце данного параграфа, связанному с формулой (4.6).

Указание: в процессе вывода формул (4.4) и (4.6) необходимо использовать общее правило: если числитель подынтегральной функции есть производная её знаменателя, то интеграл равен натуральному логарифму модуля знаменателя, т.е.

; .

.

Пример 4.

.

Пример 5.

Делаем замену переменной по соотношению ,

тогда ; отсюда и

.

Пример 6.

Обозначим , тогда

.

Применяя метод введения нового аргумента, можно добавить к изученным свойствам неопределённого интеграла ещё одно полезное соотношение (свойство):

(4.5)

Доказательство.

Очевидно,

; ; .

.

Пример 7. .

Пример 8. .

Вопросы для самопроверки

1. Покажите, что

(4.6)

2. Выведите формулу замены переменной в неопределённом интеграле.

3. Найдите двумя способами:

а) раскройте скобки возведением разности в квадрат, проинтегрируйте получающуюся сумму;

б) непосредственно, как интеграл от степенной функции со сложным аргументом, используя формулу (4.5).

Покажите, что полученные результаты не противоречат друг другу.

4. Найдите .

5. Укажите целесообразные подстановки в следующие примеры и найдите первообразные:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .