СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА.

ТАБЛИЦА ПРОСТЕЙШИХ ИНТЕГРАЛОВ

Здесь студенты должны изучить следующие свойства неопределённого интеграла.

Свойство 1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной[3] функции (по определению)

. (2.1)

Свойство 2. Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению

, (2.2)

т.е. если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла, то они взаимно уничтожаются.

Свойство 3. Если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, то они взаимно уничтожаются, а к функции добавляется произвольная постоянная величина

. (2.3)

Свойство 4. Разность двух первообразных одной и той же функции есть величина постоянная.

Свойство 5. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла

, (2.4)

где А – постоянное число.

Кстати, это свойство легко доказывается дифференцированием обеих частей равенства (2.4) с учётом свойства 2.

Свойство 6. Интеграл от суммы (разности) функции равен сумме (разности) интегралов от этих функций (если они порознь существуют)

. (2.5)

Это свойство также легко доказывается дифференцированием.

Естественное обобщение свойства 6

. (2.6)

Рассматривая интегрирование как действие, обратное дифферен-цированию, непосредственно из таблицы простейших производных можно получить таблицу следующую простейших интегралов.

Таблица простейших неопределённых интегралов

1. , где , (2.7)

2. , где , (2.8)

3. , (2.9)

4. , где , , (2.10)

5. , (2.11)

6. , (2.12)

7. , (2.13)

8. , (2.14)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

Формулы (2.7) – (2.16) простейших неопределённых интегралов следует выучить наизусть. Знание их необходимо, но далеко не достаточно для того, чтобы научиться интегрировать. Устойчивые навыки в интегрировании достигаются только решением достаточно большого числа задач (обычно порядка 150 – 200 примеров различных типов).

Ниже приводятся примеры упрощения интегралов путём преобразования их к сумме известных интегралов (2.7) – (2.16) из вышеприведённой таблицы.

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Вопросы для самопроверки.

1. Перечислите основные свойства неопределённого интеграла. Как они доказываются?

2. Чему равны следующие интегралы:

а) ; б) .

3. Найдите .

4. Напишите таблицу простейших интегралов на память.

5. Найдите интеграл .

Указание: используйте известное тригонометрическое соотношение

.