Определение.

Если существует конечный предел интегральных сумм

n−1

∑ f ( xi , yi )∆si при

i =0

ë = max∆d i

n−1

выбора точек P(хi, уi),внутри

∆si , тогда

ó = lim∑ f ( xi

n−1

∫∫ f ( x , y)ds = lim∑f ( x

, y )∆s

D ë →0 i =0

I i i

Определение интеграла предполагает, что интегрируемая функция является ограниченной. В соответствии с определени- ем двойной интеграл от функции f(х, у)равен объему цилин- дрического тела, приведенного на рис. 1. В этом заключается геометрический смысл двойного интеграла.

Двойные интегралы обладают следующими основными свойствами. 1). Если подинтегральная функция f(х, у)=1, тогда двойной интеграл совпадает с площадью области интегрирова- ния D. В самом деле, интегральная сумма (1) в этом случае приближенно совпадает с площадью области D, приведенной на рис. 1. Площадь D имеет конечные размеры. В результате

предельного перехода

ë = max∆d i → 0

приближенное равен-

ство становится точным. 2). Двойной интеграл от алгебраиче- ской суммы подинтегральных функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от каждой функции. 3). Если

f ( x , y)≥ 0

в области D, тогда ∫∫ f ( x , y)ds ≥ 0.

f ( x , y)≥ g( x , y)

в области интегрирования D, тогда

∫∫ f ( x , y)ds ≥ ∫∫ g( x , y)ds . 5). Если область D разбита на части,

D D

которые не имеют общих внутренних точек (т.е.

D = D1+ D2),

тогда

∫∫ f ( x , y)ds = ∫∫ f ( x , y)ds + ∫∫ f ( x , y)ds. 6). Если подинте-

D D1 D2

гральная функция f(х, у)является непрерывной, тогда в области

D существует точка P(хс, ус),что

∫∫ f ( x , y)ds = f ( xc , yc )⋅ S D ,

D

где

S D −

площадь области D.

Рассмотрим вычислительную формулу двойного интеграла. Пусть задана функция f(х, у),непрерывная в области интегри-

рования D. График функции z =

f ( x , y)

приведен на рис. 2а. В

соответствии с геометрическим смыслом объем пространствен-

ного тела равен

V = ∫∫ f ( x , y)ds.

x = const. На рис. 2а эта

плоскость указана штриховкой. На рис. 2б приведен ее след. Штрихованная плоскость есть криволинейная трапеция, мно- жество точек

а б

Рис. 2.

которой имеет одинаковую x координату (x=const). Ее площадь может быть вычислена с помощью определенного интеграла

y2 ( x )

S( x)=

∫ f ( x , y)dy , поскольку подинтегральная функция —

y1 ( x )

это функция только переменной y. Очевидно, что пределы ин- тегрирования меняются в зависимости от выбора сечения, т.е. от значения x (рис. 2б). Объем пространственного тела равен

b b y2 ( x )

b y2 ( x )

V = ∫ S( x)dx = ∫ (

∫ f ( x , y)dy)dx = ∫ dx

a y1 ( x )

Формула (2) связывает двойной интеграл с определенным. Таким образом,

b

∫∫ f ( x , y)ds = ∫ dx

y2 ( x )

∫ f ( x , y)dy .

D a y1 ( x )

Полученный двойной интеграл (3) называется повторным интегралом, который есть совокупность двух определенных ин- тегралов. Первый — по переменной y (внутренний интеграл), т.к. x фиксировано, и который является подинтегральной функ- цией внешнего интеграла по переменной x. Для вычисления

двойного интеграла достаточно знания методов вычисления определенных интегралов.

Полагаем, что область инте- грирования на плоскости задана в полярной системе координат (рис. 3). Разобьем область D сет- кой линий на элементарные

площадки

∆si