ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Задачи, приводящие к понятию двойных и тройных инте- гралов?

2. Что называется двойным интегралом от функции f(х, у)по области D? Укажите его геометрический и механический смысл.

3. Какие интегралы называются тройными интегралами?

4. Как вычисляются кратные интегралы от алгебраической суммы подинтегральных функций?

5. Какова методика вычисления кратных интегралов, если область интегрирования разбита на части?

6. Какова формула вычисления двойного интеграла с помо- щью повторного? Дайте геометрическое толкование фор- мулы в случае положительной подынтегральной функции.

7. Выведите формулу вычисления двойного интеграла в по- лярных координатах.

8. Что называется тройным интегралом от функции f(х, у, z)по пространственной области V? Каков его геометриче- ский и механический смысл?

9. Выведите вычислительную формулу тройного интеграла с помощью повторных. Дайте геометрическое толкование формулы.

10. Сформулируйте теорему о среднем для двойного и тройного интегралов.

11. Каковы задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла?

12. Что называется криволинейным интегралом по длине дуги плоской кривой?

13. Какова методика вычисления криволинейных интегра- лов 1-го рода?

14. Выведите условия независимости криволинейного инте- грала 1-го рода от пути интегрирования.

15. Что называется криволинейным интегралом 2-го рода?

16. Какова методика вычисления криволинейного интеграла 2-го рода?

17. Дайте определение статического момента и координат центра тяжести плоских и пространственных фигур отно- сительно координатных плоскостей, или осей 0x, 0y?

18. Дайте определение момента инерции плоских простран- ственных фигур относительно координатных плоскостей, или осей 0x, 0y?

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

На рис.1 приведен график

функции

z = f ( x , y), опреде-

Рис. 1.

ленной в области интегрирова- ния D. Функция является не- прерывной в области опреде- ления. Для формулирования понятия двойного интеграла произведем разбиение области интегрирования D на n эле- ментарных площадей двумя системами взаимнопересека-

ющихся линий, которые обозначены через

∆s1 ,∆s2 ,

∆s3 ,..∆si ,..∆sn

(рис. 1). Системы линий располагаются произ-

вольным образом. Внутри каждого интервала

∆si осуществля-

ется выбор точки

P( xi , yi )

(произвольным образом), в которой

вычисляется функция zi=f(хi, уi).Составим сумму ви-

n−1

да ∑ f ( xi , yi )∆si , которая называется интегральной суммой.

i =0

Если потребовать, чтобы

ë = max∆d i → 0

(di диаметр i —

элементарной площадки), тогда число слагаемых в интеграль- ной сумме неограниченно возрастает.