Если функция f(x)непрерывна на [a, b], то интеграл
x
F ( x)= ∫ f (t )dt
a
с переменным верхним пределом x является
дифференцируемой функцией x, и его производная равна зна- чению подинтегральной функции, вычисленному по верхнему
x
пределу, т.е.
F ′( x)= (∫ f (t )dt )′ = f ( x).
a
Из теоремы следует, что интеграл
F ( x)с переменным верхним
пределом от непрерывной функции является первообразной для подинтегральной функции. На основе данной теоремы доказы- вается формула Ньютона – Лейбница:
b
a
∫ f ( x)dx = F ( x) |b = F (b)− F (a).
(2)
a
Формула (2) дает связь между неопределенным и опреде- ленным интегралами от непрерывных функций. Для вычисле- ния определенного интеграла нужно найти первообразную по-
динтегральной функции, вычислить ее значение на концах ин- тервала интегрирования [a, b]и найти их разность.
К важным методам вычисления определенных интегралов относятся замена переменной и интегрирование по частям.
Теорема (замена переменной в определенном интеграле)
Пусть 1) f(x)интегрируема на промежутке [a, b], 2) функ-
ция
x = ϕ(t )
интегрируема на [á,â], 3)
ϕ(t )
имеет непрерыв-
ную производную на интервале [á,â]. 4) Причем
ϕ(â)= b. Тогда
ϕ(á)= a ,
b â
∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt .
(3)
a á
Теорема (интегрирование по частям)
Пусть
U ( x),V ( x)
непрерывны на промежутке [a, b]вместе
со своими производными. Тогда
B b
a
∫ U ( x)dV ( x)= U ( x)V ( x) |b −∫V ( x)dU ( x).
(4)
A a
Кратко рассмотрим основные свойства определенного инте- грала (ОИ). 1). Определенный интеграл от алгебраической сум- мы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраи- ческой сумме ОИ от этих функций. 2). Постоянный множитель
B c b
можно выносить за знак ОИ. 3).
∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
A a c
при условии, что f(x)интегрируема на большем из промежут- ков: [a, b], [a, с], [с, b]. 4). Если выполняется неравенство
B b
f(x)<g(x),тогда справедливо ∫ f ( x)dx < ∫ g( x)dx . 5). Для инте-
A a
b b
грируемой функции f(x)выполняется
∫ f ( x)dx ≤ ∫
A a
f ( x) dx .
6). Если для интегрируемой функции выполнены неравенства,
b
m ≤ f ( x)≤ M , тогда
m(b − a)≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a).
a
7). Для
ограниченной и интегрируемой на промежутке [a, b]функции
b
f(x)существует точка xo , такая, что
∫ f ( x)dx = f ( xo )(b − a).
a
В соответствии с геометрическим смыслом определенный интеграл может быть использован для вычисления площадей плоских фигур. В самом деле, площадь заштрихованной обла- сти (рис. 2) равна
B b b
S = ∫ f ( x)dx −∫ g( x)dx =∫ ( f ( x)− g( x))dx .
(5)
A a a
а б
Рис. 2.
Формула (5) справедлива также для случая, представленно- го на рис. 2б, когда функция ϕ( x)является отрицательной.
Если уравнение линии, ограничивающей плоскую фигуру, задано в полярной системе координат, тогда площадь опреде-
ляется по формуле
1â
S = ∫ r
2á
2 (ϕ)dϕ, где r(ϕ)уравнение линии.
Пусть дуга AB кривой y=f(x),
x ∈ [a,b]вращается вокруг оси
Ox (рис. 3). Площадь поверхности вращения и объем простран- ственного тела, полученного в результате вращения дуги AB,
при условии, что y=f(x)непрерывна вместе со своей производ- ной, вычисляются по следующим формулам:
B
а б
B
A A
Рис. 3.
Sпов
b
= 2ð∫ f ( x)
a
1+ [ f ′( x)]2
b
b
dx , V = ð∫ f
a
2 ( x)dx .
(6)
Определенный интеграл ∫ f ( x)dx ранее рассматривался на
a
конечном промежутке [a, b]и для ограниченной функции. При нарушении одного из этих условий об определенном интеграле говорят как о несобственном интеграле.
Если промежуток неограничен, тогда несобственный инте- грал 1-го рода определяется следующим образом:
∞ def A
∞ def A
∫ f ( x)dx =
Lim
∫ f ( x)dx ,
∫ f ( x)dx =
Lim
∫ f ( x)dx ,
a A→+∞ a
∞
a
Def A
B→+∞ a
∫ f ( x)dx =
Lim
∫ f ( x)dx .
(7)
a A→+∞ a
B→−∞
Предполагается, что на любом промежутке — [a, A], или
[B, b]функция f(x)конечна и интегрируема.
Если неограниченной является подинтегральная функция, тогда интеграл называется несобственным интегралом 2-го ро-
да. Если с ∈ (a ,b)— внутренняя точка, и в точке с функция f(c)неограниченна, тогда точка называется особой точкой. Несоб- ственный интеграл 2-го рода определяется как
B def
c −ä b
∫ f ( x)dx = lim∫
f ( x)dx + lim
∫ f ( x)dx .
a ä→0 a
ä→0 c + ä
Если особая точка c совпадает с границей интервала [a, b], т.е. с=а, (или с=b) тогда
а б
S = ∫ r
B
а б
dx , V = ð∫ f