B def
b−ä
∫ f ( x)dx =lim
∫ f ( x)dx
(или ∫ f ( x)dx =lim
∫ f ( x)dx ). (8)
a ä→0 c+ ä
a ä→0 a
Предполагается, что на любом промежутке [c+ä, b], (или
[a,b-ä]) функция f(x)конечна и интегрируема.
Несобственный интеграл называется сходящимся, если он конечен. Иначе, если он не существует или равен бесконечно- сти — несобственный интеграл расходящийся.
Вопрос о сходимости несобственных интегралов 1-го рода может быть решен с помощью теорем сравнения.
Теорема 1
Если неотрицательные функции f(x)и g(x)удовлетворяют на промежутке [a, +∞)неравенству f(x)≤ g(x), тогда 1). Из схо-
∞
димости ∫ g( x)dx
a
∞
следует сходимость ∫ f ( x)dx
a
(т.е. интеграла
∞
от меньшей функции). 2). Из расходимости ∫ f ( x)dx
a
следует
∞
расходимость ∫ g( x)dx .
a
Теорема 2
Если для неотрицательных функций f(x)и g(x)на проме- жутке [a, +∞)существует конечный предел
Lim
f ( x)= K .
x→+∞ g( x)
Тогда: 1). Если
+∞ +∞
K ≠ 0,
тогда несобственные интегралы
∫ g( x)dx ,
a
∫ f ( x)dx
a
сходятся или расходятся одновременно.
∞
2). Если
+∞
K = 0,
тогда из сходимости ∫ g( x)dx
a
следует сходи-
мость ∫ f ( x)dx . 3). Если
a
∞
K = ∞ ,
тогда из расходимости инте-
+∞
грала ∫ g( x)dx
a
следует расходимость ∫ f ( x)dx .
a
