Квадратурные формулы Гаусса

Во всех приведенных до сих пор формулах численного интегрирования Ньютона-Котеса и во всех формулах получаемых методом Ромберга используются равноотстоящие узлы. В случае квадратурных формул Гаусса это уже не так. Иначе говоря смысл квадратурных формул Гаусса состоит в том чтобы при наименьшем возможном числе узлов точно интегрировать многочлены наивысшей возможной степени. Можно показать что при гауссовых узлах по полученной формуле можно точно интегрировать многочлены степени .

(22)

Для количества узлов и соответствующих значений и - составлены таблицы которые позволяют вычислять интегралы по формуле (22).

Для понимания сути этих таблиц рассмотрим пример.

Пример:

Пусть нам нужно составить квадратурную формулу с двумя узлами по которой точно интегрируются многочлены до степень включительно.

Решение: Искомая формула имеет вид:

(23)

где - остаток который обращается в нуль для

при .

Тогда подставляя в (23) имеем:

(24)

Отсюда приравнивая коэффициенты при справа и слева получаем систему уравнений:

(25)

Ее решение имеет вид:

(26)

Следовательно искомая квадратурная формула такова:

.(27)

Ясно что если нам нужно вычислить интеграл со многими узловыми точками действуем следующим образом:

а) промежуток интегрирования делим на - равных промежутков и на каждом маленьком промежутке применяем формулу Гаусса с неравноотстоящими узлами (27);

б) полученные результаты складываем.

В случае когда оказывается что узловыми точками при делении отрезка на - частей являются корни соответствующих многочленов Лежандра.

Для вычисления кратных интегралов их сводят обычно к повторным интегралам а далее применяют те же самые кубатурные формулы для каждого значения узловых точек что и в одномерном случае. Однако надо иметь в виду что кратные интегралы значительно сложнее вычислять с заданной точностью.

Точность произведённых вычислений зависит от точности аппроксимации подынтегральной функции многочленами.