4.1.Гидрологический «барьер» против загрязнения грунтовых вод. [1]
Снабжение крупных городов и промышленных центров доброкачественной водой для питья и водой для технических нужд давно стало острой техно-экологической проблемой. Для ее решения помимо открытых и потому легко загрязняемых источников (реки, озера, водохранилища) активно используются подземные воды влагосодержащих пластов. Они менее подвержены антропогенным воздействиям, однако и для них вопросы, связанные с зачастую неизбежным загрязнением, остаются актуальными. Один из них — локализация вредных примесей, проникающих в часть пласта с тем, чтобы вода в других частях оставалась чистой и пригодной для потребления.
рис.3
Эту цель можно достичь, используя часть грунтовых вод для создания на пути распространения загрязнений своеобразного гидрологического барьера.
Общая его схема показана на рис. 3: между источником загрязнения (звездочки) и водозаборными скважинами устанавливаются специальные скважины, накачивающие (достаточно чистую) воду в пласт и повышающие ее уровень (барьер). Накачка создает принудительное движение грунтовых вод вправо и влево от барьера (стрелки). Фильтрующаяся направо часть потока сносит назад текущую ей навстречу воду с примесями, препятствуя дальнейшему продвижению загрязнений вдоль пласта.
Модель распространения примесей получается из закона сохранения (баланса) массы примеси в элементе грунта. В отсутствие диффузии загрязнений она представляет собой обычное уравнение неразрывности и в простейшем варианте имеет вид
где C(x,t) — искомая концентрация примесей, Q(x,y,t) — известная интенсивность источников загрязнений, h = h(x, y,t) свободная поверхность воды, плавно изменяющаяся с изменением координат х, у; Н(х,у) — подстилающая поверхность, не имеющая разрывов и изломов, v = v(x, у, t) и и= и(х, у, t) — составляющие скорости жидкости вдоль осей х, у.
4.2.Модель распространения лесного пожара. [2]
Здесь рассматривается схема распространения огня на плоскости, характеризующаяся следующими свойствами.
Для каждого момента времени t, 0≤ t <∞, на плоскости выделено некоторое множество точек Xt, называемое множеством распространения.
Множество распространения является расширяющимся по времени, т. е. для любых t1, t2, 0 ≤ t1< t2, выполнено Xt1Xt2.
Каждая точка х' множества Xt+dtполучается переносом из некоторой точки х множества Xt, причем данный перенос обладает следующими свойствами:
для любого x | известны все х' Xt+dt, получаемые переносом из х\
если х' Xt+dt, получается переносом из х Xt , то ρ(x,x’)→0, где ρ(х, у) — евклидово расстояние между точками плоскости;
правило, задающее для любого x все точки х'Xt+dt, получаемые переносом из х, не зависит от t; при этом точка х' включается в Xt+dtесли она получается переносом хотя бы из одной точки х Xt.
Если участок, на котором распространяется лесной пожар, спроектировать на плоскость и за Xtпринять его выгоревшую и горящую части, то для пожаров, не превышающих определенную интенсивность, данные условия выглядят вполне естественными. Из них также следует, что нам достаточно задать множество Xt0в некоторый фиксированный момент времени t0 и правила перехода распространения из каждой точки плоскости в другие точки для того, чтобы было определено множество Xt , t > t0. В дальнейшем мы полагаем t0= 0 и считаем заданным множество Х0, которое назовем начальным. Естественным является также выбор правил переноса, характеризующихся заданной дифференциальной скоростью.
Рис 4. . Развитие контура Xtпроцесса распространения огня путем переноса по нормали п (v(x, φ) — вектор скорости переноса) — (а) и путем построения огибающей к элементарным множествам V(x, dt) —(б).
В основе модели с использованием частных производных лежит гипотеза о нормальной скорости переноса, состоящая в том, что для заданного в момент t множества Xtперенос осуществляется из каждой точки контура (геометрической границы) по внешней к нормали п с заданной скоростью vH(x, φ), где φ — полярный угол вектора п (рис. 4, а).
При таком подходе, если уравнение контура записать в виде z(x, t) = 0, то функция z(x, t) при условии существования непрерывных частных производных удовлетворяет уравнению в частных производных:
4.3.Пример использования производных при моделировании выноса загрязняющих веществ с поверхности сельскохозяйственного водосбора. [3]
В связи с интенсивным применением минеральных удобрений наиболее опасные ситуации в водоеме могут возникнуть при выпадении ливневых дождей после внесения больших доз удобрений на водосборе.
В основе модели лежат следующие физические предпосылки: вода, выпавшая на поверхность почвы в виде осадков, перераспределяется в зависимости от рельефа и начального состояния водосбора, формируя поверхностный и внутрипочвенный сток, и выносит растворенные и сорбированные вещества. Блок-схема математической модели выноса растворенных веществ с поверхности сельскохозяйственного водосбора приведена ниже. Построение физико-математической модели рассматриваемого процесса возможно с помощью уравнений гидравлики и гидродинамики, позволяющих получать временные и пространственные характеристики поверхностного, внутрипочвенного и эрозионного стока:
где (22)-уравнение кинетической волны; (23) - уравнение стекания в однородном пористом грунте; (24) - уравнение твердого стока. Здесь h - глубина потока; g - расход воды со склона единичной ширины; r = R-E-F - интенсивность эффективных осадков; E - интенсивность испарения; f - интенсивность просачивания через относительный водоупор; S - транспортирующая способность; е - интенсивность размыва; gQ = Кф-ih; Кф- коэффициент фильтрации грунта; i - уклон поверхности водоупора.
Если известны параметры стекания, то система уравнений выноса загрязняющих веществ дождевым стоком имеет вид
где С - концентрация растворенного вещества; C0 — фоновая концентрация; - концентрация сорбированного вещества; - характеристика поступления и биохимической трансформации элемента в почве.
Применение производных в политике и планировании военных действий
5.1.Гонка вооружений между двумя странами. [1]
Предполагается, что общее количество вооружений у каждой страны изменяется со временем в зависимости от трех факторов: количества оружия у противника, износа уже существующего вооружения и степени недоверия между противниками. Темпы прироста и уменьшения вооружений пропорциональны указанным факторам, т. е.
В уравнениях (12) M1(t) ≥ 0, M2(t) ≥ О — объемы вооружений, коэффициенты α1(t) > 0, α2(t) > 0, β1(t) > 0, β2(t) > 0 характеризуют скорость «старения» вооружений (аналог процесса амортизации производственных мощностей в моделях экономики), функции γ1(t) ≥ 0, γ2(t) ≥ 0 описывают уровень взаимной настороженности (недоверия) конкурентов, который считается не зависящим от количества вооружений, а определяется другими причинами.
Модель (12) не учитывает многие важные факторы, влияющие на динамику гонки вооружений, но, тем не менее, дает возможность проанализировать ряд существенных свойств этого процесса. Анализ наиболее прост в частном случае, когда функции αi, βi, γi, i = 1,2, не зависят от времени:
Исследуем систему (13) в плоскости М1 , М2 с целью определить качественное поведение функций M1(t), М2(t) во времени. Уравнения (13) имеют положение равновесия dM1/dt = 0 и dM2/dt = 0. Равновесные значения М10, М20 находятся, очевидно, из условий
и равны
Из (14) следует первый важный вывод: для того чтобы равновесие существовало при положительных значениях величин (по своему смыслу функции M1(t), М2(t) неотрицательны), должно выполняться неравенство
Смысл условия (15) проясняется из следующих рассуждений. Пусть, например, параметры α1, β1 и β2 неизменны, а параметр α2 увеличивается. Это означает, что первая страна не меняет свою стратегию в области вооружений, а вторая наращивает вооружения при неизменном темпе износа оружия (параметр β2). Тогда при достаточно большой величине α2 равновесие станет заведомо невозможным, а неравенство (15) обязательно нарушится. Заметим, что, если оба параметра γ1, γ2, характеризующие взаимное недоверие, равны нулю, то положению равновесия отвечает отсутствие вооружений у обеих сторон
5.2.Боевые действия двух армий.[1]
В противоборстве могут принимать участие, как регулярные армии, так и партизанские соединения. Главной характеристикой соперников в рассматриваемых моделях являются численности сторон N1(t) ≥ 0 и N2(t) ≥ 0. Если в какой-то момент времени одна из численностей обращается в нуль, то данная сторона считается потерпевшей поражение (притом, что в этот момент численность другой стороны положительна).
В случае действий между регулярными частями динамика их численности определяется тремя факторами:
1) скоростью уменьшения состава из-за причин, непосредственно не связанных с боевыми действиями (болезни, травмы, дезертирство);
2) темпом потерь, обусловленных боевыми действиями противо борствующей стороны (которые в свою очередь определяются каче ством ее стратегии и тактики, уровнем морального духа и профессио нализмом бойцов, вооружениями и т. д.);
3) скоростью поступления подкреплений, которая считается неко торой заданной функцией времени.
При этих предположениях для N1(t), N2(t) получаем систему уравнений
из которой при заданных функциях αi, βi, γi, i = 1,2, и начальных значениях N1(0), N2(0) однозначно определяется решение в любой момент времени t > 0. В (16) коэффициенты α1,2(t) ≥ 0 характеризуют скорости потерь в силу обычных (не боевых) причин, β1,2(t) ≥ 0 — темпы потерь из-за действий соперника, γ1,2(t) ≥ 0 — скорости поступления подкреплений.
Война между регулярными и партизанскими частями описывается другой моделью. Главное отличие в том, что нерегулярные соедиения в сравнении с армейскими менее уязвимы, так как действуют скрытно, зачастую оставаясь невидимыми для соперника, вынужденного действовать неизбирательно, по площадям, занимаемым партизанами. Поэтому считается, что темп потерь партизан, проводящих свои операции в разных местах на некоторой известной территории, пропорционален не только численности армейских соединений N1(t) но и численности самих партизан N2(t), т. е. определяется членом вида β1(t) N1N2. В результате модель становится нелинейной:
В (17) все величины имеют тот же смысл, что и в (16). Изучим модели (16), (17) (модели Ланчестера) в частном случае: γ1 = γ2= 0 (стороны не получают подкреплений и как бы предоставлены самим себе); α1 = const, α2 = const; β1 = const, β2 = const (последнее означает, в частности, что у противников всегда найдется достаточное количество вооружений, которое может использоваться годными к несению службы бойцами).
Модель (16) становится автономной и принимает вид
Из уравнений (18) видно, что в данном случае численности сторон с течением времени могут только убывать. Каков временной характер этого процесса и какая сторона потерпит поражение? Чтобы выяснить этот вопрос, введем еще одно упрощение (вполне оправданное для краткосрочных кампаний): положим α1 = α2 = 0. Другими словами, потери сторон определяются лишь действиями противника. Система (18) упрощается:
и легко находится ее интеграл
Из (16) однозначно определяется победитель (рис. 60). При С >> 0 побеждает первая армия, при С < 0 — вторая, в случае С = 0 стороны уничтожают друг друга одновременно, и победителя нет. Смысл этих результатов вполне ясен из вида константы в (20). Для победы важна не только численность сторон в начале боевых действий (N1(0), N2(0)), но и их выучка, качество их вооружений и т. д. (т. е. коэффициенты β1, β2. Так, если С > 0, то из (20) следует
и для достижения победы второй стороне следует либо увеличить начальную численность, либо улучшить качество боевых действий, либо то и другое одновременно. Заметим, что эффект от увеличения коэффициента β2 меньше, чем от такого же увеличения числа N2(0), которое входит в последнее неравенство (так называемый квадратичный закон боевых действий) во второй степени.
Дифференцируя первое из уравнений (19) и принимая во внимание второе, получаем уравнение для N1(t)
Из (21) с учетом начальных условий N1(t = 0) = N1(0) и dN1/dt(t =0) =-β2 N2(0) находим численность первой армии как функцию времени:
рис.3
Xt2.
| известны все х' 
Xt+dt, получаемые переносом из х\
(геометрической границы) по внешней к 
нормали п с заданной скоростью vH(x, φ), где φ — полярный угол вектора п (рис. 4, а).
удовлетворяет уравнению в частных производных:
- концентрация сорбированного вещества; 
- характеристика поступления и биохимической трансформации элемента в почве.
(по своему смыслу функции M1(t), М2(t) неотрицательны), должно выполняться неравенство
Из уравнений (18) видно, что в данном случае численности сторон с течением времени могут только убывать. Каков временной характер этого процесса и какая сторона потерпит поражение? Чтобы выяснить этот вопрос, введем еще одно упрощение (вполне оправданное для краткосрочных кампаний): положим α1 = α2 = 0. Другими словами, потери сторон определяются лишь действиями противника. Система (18) упрощается:
