Применение производных в экономике

3.1.Простейшая модель изменения зарплаты и занятости. [1]

Рынок труда, на котором взаимодействуют работодатели и наем­ные рабочие, характеризуется зарплатой p(t) и числом занятых N(t). Пусть на нем существует равновесие, т. е. ситуация, когда за плату р₀ > 0 согласны работать N₀ > 0 человек. Если по каким-то причинам это равновесие нарушается (например, по возрасту часть работников уходит на пенсию либо у предпринимателей возникают финансовые трудности), то функции p(t) и N(t) отклоняются от значений р_0, N_0.

Будем считать, что работодатели изменяют зарплату пропорционально отклонению численности занятых от равновесного значения. Тогда

Предположим, что число работников увеличивается или уменьшается также пропорционально росту или уменьшению зарплаты относительно значения р₀, т.е.

Дифференцируя первое уравнение по t и исключая из него с помощью второго уравнения величину N , приходим к стандартной модели колебаний

заработной платы относительно положения равновесия (аналогично и для величины N(t)). Из первого интеграла этого уравнения

видно, что в некоторые моменты t = t_i, i = 1,2,..., когда р = р_о (т. е. зарплата становится равной равновесному значению), имеем N > N₀, т. е, число занятых больше равновесного, а при N = N₀получаем р >> p_о, т. е. зарплата превышает равновесную. В эти моменты фонд заработной платы, равный pN, превышает равновесное значение p_oN_o (или меньше его), если при подходе к моменту t_i выполнено р> р_о или N > N_o (и наоборот). Но в среднем за период колебаний величина pN равна p_oN₀.

3.2.Организация рекламной кампании. [1]

Фирма начинает рекламировать новый товар или услугу. Разумеется, что прибыль от будущих продаж должна с лихвой покрывать издержки на дорогостоящую кампанию. Ясно, что вначале расходы могут превышать прибыль, поскольку лишь малая часть потенциальных покупателей будет информирована о новинке. Затем, при увеличении числа продаж, уже возможно рассчитывать на заметную прибыль, и, наконец, наступит момент, когда рынок насытится, и рекламировать товар далее станет бессмысленно.

Модель рекламной кампании основывается на следующих основных предположениях. Считается, что величина dN/dt — скорость изменения со временем числа потребителей, узнавших о товаре и готовых купить его (t — время, прошедшее с начала рекламной кампании, N(t) — число уже информированных клиентов), — пропорциональна числу покупателей, еще не знающих о нем, т. е. величине α₁(t)(N₀ — N(t)), где N₀ — общее число потенциальных платежеспособных покупателей,α₂(t) > 0 характеризует интенсивность рекламной кампании (фактически определяемую затратами на рекламу в данный момент времени). Предполагается также, что узнавшие о товаре потребители тем или иным образом распространяют полученную информацию среди неосведомленных, выступая как бы дополнительными рекламными «агентами» фирмы. Их вклад равен величине α₂(t)N(t) (N₀ — N(t)) и тем больше, чем больше число агентов. Величина α₂(t) > 0 характеризует степень общения покупателей между собой (она может быть установлена, например, с помощью опросов). В итоге получаем уравнение