Применение производных в физике

1.1.Закон сохранения энергии.[1]

Следующие рассуждения может применить инженер для оценки времени t_k, сверления слоя металла толщины L лазером с мощностью W, излучение которого перпендикулярно поверхности материала . Если энергия лазера полностью идет на испарение столбика металла массы LSp (S — облучаемая площадь, LS — объем столбика, р — плотность вещества), то закон сохранения энергии выражается равенством

_{0 k} (1)

где h — энергия, требуемая для испарения единицы массы. Величина h имеет составную структуру: h = (Т_пл —T)h₁ + h₂+ h₃, поскольку материал необходимо последовательно нагреть до температуры плавления Т_пл, а затем расплавить и превратить в пар (Т — исходная температура, h₁ — удельная теплоемкость, h₂ и h₃ — соответственно удельная теплота плавления и парообразования).

Изменение глубины выемки l(t) со временем определяется из детального баланса энергии в промежутке времени от t до t + dt. На испаренную за это время массу

тратится энергия dlhSp, равная энергии W dt, сообщаемой веществу лазером

откуда получается дифференциальное уравнение

Его интегрирование (с учетом того, что начальная глубина выемки равна нулю) дает

где E(t) — вся энергия, выделенная лазером к моменту времени t. Следовательно, глубина выемки пропорциональна затраченной энергии (причем величина t/c, когда l(t_k) = L, совпадает с вычисленной по формуле (1)).

1.2.Модель движения ракеты.[1]

Неподвижно стоящая в безветренную погоду на поверхности озера лодка начнет двигаться вперед, если сделать несколько шагов от ее носа к корме. Так проявляет себя закон сохранения импульса, утверждающий: полный импульс системы, не испытывающей действия внешних сил, сохраняется. На передвижение гребца лодка реагирует смещением в противоположную сторону.

Принцип реактивного движения положен в основу многих замечательных технических устройств, например, ракеты, выводящей на орбиту вокруг Земли искусственный спутник, для чего ей требуется развить скорость примерно 8 км/с. Простейшая математическая модель движения ракеты получается из закона сохранения импульса в пренебрежении сопротивлением воздуха, гравитацией и другими силами, исключая, конечно, тягу реактивных двигателей.

Пусть продукты сгорания ракетного топлива покидают располо­женные в кормовой части выхлопные сопла со скоростью и (для современных топлив величина и равна 3-5 км/с). За малый промежуток времени dt между моментами t и t + dt часть топлива выгорела, и масса ракеты изменилась на величину dm. Изменился также импульс ракеты, однако суммарный импульс системы «ракета плюс продукты сгорания» остался тем же, что и в момент t, т. е.

где v(t) — скорость ракеты, v(t + dt) — и (0 < < 1) — средняя за про­межуток dt скорость истекающих из сопел газов (обе скорости берутся относительно Земли). Первый член в правой части этого равенства — импульс ракеты в момент t + dt, второй — импульс, переданный истекающим газом за время dt.

Учитывая, что m(t + dt) = m(t) + (dm/dt) dt + O(dt²), закон сохранения импульса можно переписать в виде дифференциального уравнения

в котором член - (dm/dt) и, очевидно, не что иное, как сила тяги ракетных двигателей, и которое, будучи преобразованным к виду

легко интегрируется:

где v₀, m₀ — соответственно скорость и масса ракеты в момент t = 0. Если v₀= 0, то максимальная скорость ракеты, достигаемая при полном сгорании топлива, равна

Здесь т_р — полезная масса (масса спутника), m_s — структурная масса (масса собственно ракетной конструкции — топливных баков, двигателей, систем управления и т, д.).

Простая формула Циолковского (3) позволяет сделать фундаментальный вывод о конструкции ракеты для космических полетов. Введем величину , которая характеризует при т_р = 0 отношение структурной и начальной масс ракеты. Тогда для практически реальных значений А = 0,1, и = 3 км/с получаем при т_р = 0

v = uln(l/ ) = 7 км/с.

Отсюда следует, что даже в самой идеальной ситуации (полезная масса равна нулю, отсутствуют гравитация и сопротивление воздуха и т. д.) ракета рассматриваемого типа не способна достичь первой космической скорости. Тем самым необходимо использовать многоступенчатые ракеты — вывод, к которому пришли основоположники космонавтики.

1.3.Колебания колец Сатурна. [1]

Построим модель движения точечной массы M₀ в поле сил тяготения, со­здаваемом материальным кольцом с радиусом R₀ и линейной плотностью ρ₀. Кольцо считается бесконечно тонким, движение происходит вдоль оси кольца (рис. 1). Данная схема может рассма­триваться как идеализация процесса колебаний колец Сатурна. Тем не менее, несмотря на существенные упрощения, непосредственное использование закона всемирного тяготения

где F — сила притяжения двух тел, имеющих массы m₀ и m₁, r — расстояние между ними, — постоянная тяготения, не может дать окончательной модели движения колец Сатурна, так как массы m₀,m₁ должны быть точечными.

Поэтому вычислим сначала силу притяжения между точечной массой M₀ и массой dm, содержащейся в малом элементе кольца dl, которую уже можно считать точечной:

Здесь R,r — соответственно расстояние от массы M₀ до кольца и до центра кольца. Очевидно, что при 0 ≤ α ≤ π/2 (для π/2 ≤ α ≤ 2π выкладки аналогичны)

Поскольку ,то

Найдем проекцию силы dF на ось r(именно эта проекция определяет интересующее нас движение):

Просуммировав теперь силы тяготения, создаваемые всеми элемента­ми кольца, т.е. взяв интеграл от по β от β = 0 до β = 2π, найдем результирующую силу:

(4)

где M₁= 2πM₀ρ₀ — полная масса кольца. Как и в предыдущем пункте, горизонтальная проекция результирующей силы равна нулю из-за симметричного расположения кольца относительно массы m₀.

Сила тяготения (4) существенно отличается от выражения, даваемого законом для точечных масс, переходя в него лишь при r >> R₀, когда кольцо можно уподобить точечной массе благодаря большому, в сравнении с размерами кольца, расстоянию между тяготеющими телами. Если же r <<R₀, то

и сила притяжения, в противоположность случаю точечных масс, убывает с уменьшением расстояния между объектами .

Применив к массе M₀ второй закон Ньютона, получим уравнение ее движения вдоль оси r:

которое, существенно нелинейно и становится линейным лишь при r<<R₀