Основные правила интегрирования

Теорема: Любая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция:

,

где - любая фиксированная точка интервала .

Так как две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то согласно теореме, любая первообразная непрерывной на сегменте функции имеет вид:

где - некоторая постоянная.

Полагая в последней формуле сначала , затем , и используя первое свойства определенного интеграла, получим:

, .

Из этих равенств вытекает соотношение:

,

которое называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона – Лейбница.

Пусть выполнены следующие условия:

1) Функция непрерывна на отрезке ;

2) отрезок является множеством значений некоторой функции , определенной на отрезке и имеющей на этом отрезке непрерывную производную;

3) , .

При этих условиях справедлива формула:

Указанная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Пусть функции и имеют непрерывные производные на сегменте . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определенных интегралов:

.

Так как и , то эту формулу можно записать следующим образом:

.

Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры

Определение: Плоская фигура – часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой , при этом кривая называется границей фигуры .

Определение: Мы будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру , если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре или ее границе.

Определение: Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то мы будем говорить, что указанный многоугольник описан вокруг фигуры .

Замечание: Площадь любого вписанного в фигуру многоугольника не больше площади любого описанного вокруг фигуры многоугольника.

Пусть - числовое множество площадей вписанных в плоскую фигуру многоугольников, а - числовое множество площадей описанных вокруг плоской фигуры многоугольников. Очевидно, что множество ограничено сверху (площадью любого описанного вокруг фигуры многоугольника), а множество ограничено снизу (например, числом нуль).

Обозначим через точную верхнюю грань множества , через точную нижнюю грань множества .

Числа и называются соответственно нижней площадью и верхней площадью фигуры

Замечание: Нижняя площадь фигуры не больше верхней площади , т. е. .

Определение. Плоская фигура называется квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью. При этом число называется площадью фигуры .

Теорема: Для того чтобы плоская фигура была квадирируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа можно было указать такой описанный вокруг фигуры многоугольник и такой вписанный в фигуру многоугольник, что разность площадей которых была бы меньше , .

Определение:Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на сегменте непрерывной и неотрицательной функции , ординатами, проведенными в точках и , и отрезком оси между точками и .

Теорема: Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь которой может быть вычислена по формуле:

.