Определение тройного интеграла

Возьмем произвольную фигуру в пространстве, представляющую собой ограниченную и замкнутую область. Условие существования объема для данной области в пространстве заключается в том, чтобы область была ограничена одной или несколькими гладкимиповерхностями. В этом случае область называют кубируемой. В дальнейшем будем рассматривать только кубируемые области пространства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.Ограниченная замкнутая область пространства называется телом.

Пусть в некотором теле задана функция . Разобьем это тело с помощью сети поверхностей на конечное число элементарных тел соответственно с объемами . Выберем в каждом из них произвольным образом по точке . Значение функции в этой точке умножим на объем и составим интегральную сумму для функции по телу

. (2.2)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.Конечный предел интегральной суммы (2.2) при стремлении к нулю наибольшего из диаметров d всех элементарных тел называется тройным интегралом функции в области , если он не зависит ни от способа разбиения тела на элементарные тела, ни от выбора точек M_k в каждом из них:

.

Он обозначается символом .

Теорема 1. (необходимое условие существования тройного интеграла). Если функция интегрируема в ограниченной замкнутой области пространства , то она ограничена в этой области.

Теорема 2. (достаточное условие существования тройного интеграла). Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области пространства , то она интегрируема в ней.

Из пункта 2.1. следует физический смысл тройного интеграла. Если функция есть плотность распределения массы по телу , то тройной интеграл от функции в области равен массе этого тела: .