Рассмотрим тело (V), плотность 
которого известна, но переменна, т.е. в разных точках различна, и предположим, что нам требуется подсчитать массу 
этого тела. Для этого разобьем тело (V) произвольным образом на элементарные тела 
соответственно с объемами 
и выберем в каждом из них по точке 
. Примем приближенно, что в пределах элементарного тела 
плотность постоянна и равна плотности 
в выбранной точке. Тогда масса 
каждого элементарного тела приближенно выразится следующим образом:
,
масса же всего тела будет
.
В пределе, при стремлении к нулю наибольшего из диаметров d всех областей 
, это равенство делается точным, так что
, (2.1)
и задача решена.
Предел этого вида и есть тройной интеграл от функции 
по области 
. В принятых нами для них обозначениях полученный выше результат запишется так:
.
