Контуром проекции вырезанной части на плоскость xOy является лемниската 
(рис.1.30).
Рисунок. 1.30
Цилиндр вырезает из параболоида два равных куска поверхности. Чтобы вычислить их общую площадь, воспользуемся формулой (1.10). Для нее из уравнения параболоида 
получим подынтегральную функцию. 
, 
. Следовательно, 
. Преобразуем интеграл к полярным координатам 
. Подынтегральная функция запишется в виде 
, а уравнение лемнискаты – в виде 
, или 
.
Так как параболоид и цилиндр симметричны относительно плоскостей xOz, yOz, то достаточно вычислить интеграл по одной четвертой части лемнискаты, расположенной в первой четверти плоскости xOz. Следовательно, пределами интегрирования будут: 
. Получим: 
, откуда 
.
Некоторые приложения двойных интегралов к механике
ПРИМЕР 1. Найти массу квадратной пластинки со стороной 2a, если плотность материала пластинки пропорциональна квадрату расстояния от точки пересечения диагоналей и на углах квадрата равна единице.
