В силу симметричности данного шара относительно координатных плоскостей, очевидно, достаточно ограничиться вычислением объема его восьмой части, расположенной в первой октанте (рис. 1.25).
Рисунок. 1.25
Подынтегральной функцией будет 
(корень берем с положительным знаком потому, что рассматриваемая часть шара расположена над плоскостью xOy).
Чтобы установить пределы интегрирования в формуле (1.2*), необходимо сначала установить область интегрирования. Она ограничена пересечением плоскости xOy с поверхностью шара. Чтобы получить это пересечение, положим в уравнении поверхности шара z = 0.
Полученная окружность 
и будет контуром области задания функции .
При нашем упрощении задачи областью интегрирования будет часть круга, расположенная в первой четверти плоскости xOy. Взяв постоянные пределы интегрирования по x (0 ≤ x ≤ R), получим пределы по y: 0 – нижний, 
- верхний. По формуле (6) будем иметь:
.
Для вычисления внутреннего интеграла сделаем подстановку 
. Тогда 
и
(пока x постоянная!). Следовательно, 
, откуда
ЗАМЕЧАНИЕ. Можно было воспользоваться и переходом к полярной системе координат.
ПРИМЕР 3. Вычислить объем тела, ограниченного снизу плоскостью xOy, сверху плоскостью 
, с боков цилиндрической поверхностью 
и плоскостью 
.
Рисунок. 1.26
