Решение

В данном случае, для того, чтобы представить на рисунке (рис.1.23) данную плоскую фигуру, необходимо предварительно провести исследование ее контура по заданному уравнению. Контур задан уравнением шестой степени относительно x и y.

В первую очередь отметим, что уравнение не меняется при замене y на -y, и потому кривая симметрична относительно оси абсцисс. Кроме того, из уравнения видно, что x ≥ 0, и потому кривая расположена справа от оси ординат.

Рисунок. 1.23

Дальнейшее исследование методами дифференциального исчисления в данном случае весьма затруднительно, поэтому перейдем к полярным координатам, положив . Подставляя в (v), получим: , или .

По этому уравнению видно, что каждому значению угла φ следует одно значение радиуса ρ. Кроме того, наибольшее значение ρ = 2 достигается при φ = 0, наименьшее – ρ = 0 при , т.е. при изменении φ от 0 до величина ρ монотонно убывает от значения 2 до 0. Это дает возможность установить форму части кривой, расположенной в первой четверти. В силу симметричности кривой выясняется тем самым форма и всей кривой (v) (см. рис.1.22).

После того как выяснена форма заданной плоской фигуры и сделан чертеж, можно приступить к нахождению площади фигуры. Симметричность фигуры относительно оси Ox позволяет ограничиться вычислением площади ее части, лежащей в первой четверти. Получим[*]:

S = = 2 = 2 = 4 =

= .

ПРИМЕР 3. Вычислить площадь параболического сегмента, ограниченного параболой и осью Ox.