Область (D) изображена на рисунке 1.19. Перейдем к полярным координатам x = ρcosφ, y = ρsinφ. Тогда подынтегральная функция
f(x,y) = 
= ρ-4.
Криволинейные участки границы области задаются уравнениями:
ρ2cos2φ + ρ2sin2φ = 4ρcosφ, или ρ = 4cosφ,
ρ2cos2φ + ρ2sin2φ = 8ρcosφ, или ρ = 8cosφ,
а прямолинейные участки уравнениями:
ρsinφ = ρcosφ, или tgφ = 1, откуда φ = 
;
ρsinφ = 2ρcosφ, или tgφ = 2, откуда φ = arctg2;
Итак, угол φ изменяется в постоянных пределах от до arctg2. Чтобы найти пределы изменения ρ, пересечем область (D) лучом, исходящим из полюса. При входе в область он пересечет границу ρ = 4cosφ, при выходе - границу ρ = 8cosφ. Следовательно, 4cosφ - нижняя граница интегрирования, а 8cosφ - верхняя граница.
Рисунок. 1.19
Имея в виду, что при данном преобразовании якобиан 
, можем представить двойной интеграл в новых координатах следующим образом:
I = 
= 
= 
=
= 
= 
= 
.
ПРИМЕР 4.При какой замене переменных криволинейный четырехугольник (D), ограниченный линиями xy = 1, xy = 2, x – y + 1 = 0, x – y – 1 = 0 (x > 0, y > 0), перейдет в прямоугольник (Q), стороны которого параллельны координатным осям?
