Преобразуем интеграл к полярным координатам:
.
Тогда x2 + y2 = ρ2,
= 
, 
,
и данный интеграл примет вид:
= 
.
Рассмотрим область интегрирования (D) (рис. 1.18).
Рисунок. 1.18
Уравнение ее границы в полярных координатах примет вид:
ρ2cos2φ + ρ2sin2φ = 1,
т.е. ρ2 = 1, или ρ = 1 (предполагается, что полярная ось совпадает с положительным направлением оси абсцисс). В пределах данной области (D) полярный угол φ изменяется от 0 до π, а полярный радиус ρ изменяется в пределах от 0 до 1.
Следовательно,
I = 
= 
= π 
=
= 
.
ПРИМЕР 3. Вычислить двойной интеграл I = 
, где область (D) ограничена окружностями x2 + y2 = 4x, x2 + y2 = 8x и прямыми y = x, y = 2x.
