Решение

Рисунок. 1.16 Рисунок. 1.17

Изобразим область (D) на рисунке 1.16. Из рисунка видно, что для вычисления данного интеграла область (D) следует разбить на три части, как показано штриховыми линиями. Задача, таким образом, сводится к вычислению трех двойных интегралов. Однако можно избежать такого громоздкого способа решения, если ввести новые переменные, положив:

x + y = u, 2x – y = v. (**)

Тогда прямые x + y = 1, x + y = 2 в системе координат xOy преобразуются в прямые u = 1, u = 2 в системе координат uOv (рис. 1.17), а прямые 2x – y = 1, 2x – y = 3 преобразуются в прямые v = 1, v = 3. Параллелограмм (D) преобразуется в прямоугольник (Q) со сторонами, параллельными координатным осям.

При преобразовании интеграла к новым переменным необходимо сначала получить выражения x и y через u и v из равенств (*) и (**):

x = , y = .

Используя формулу (1.6) вычислим якобиан данного преобразования:

J(u,v) = = – – = – .

Так как якобиан отличен от нуля, то выбранное преобразование области (D) в область (Q) будет взаимно однозначным. Кроме того, как функция , так и функции вместе со своими частными производными являются непрерывными. Следовательно, по формуле (1.7) имеем:

Если подынтегральная функция или уравнение границы области интегрирования содержат сумму x² + y², то в большинстве случаев упрощение интеграла достигается преобразованием его к полярным координатам. Это объясняется тем, что данная сумма в полярных координатах получает весьма простое выражение

.

Если в состав подынтегральной функции или уравнения границы области интегрирования входит сумма вида ax² + by²; a > 0, b > 0, то пользуются «обобщенной» полярной системой координат:

.

Тогда ,

а якобиан преобразования в этом случае (убедится самостоятельно).

ПРИМЕР 2.Вычислить двойной интеграл , где (D) – верхний полукруг .