Сведение двойного интеграла к повторному интегралу

Продолжая трактовать двойной интеграл геометрически, как объем цилиндрического бруса, дадим указания относительно его вычисления путем сведения к повторному интегралу.

Ранее рассматривалась задача вычисления объема тела по его поперечным сечениям. Напомним относящуюся сюда формулу. Пусть тело ограничено плоскостями и (рис.1.2).

Рисунок. 1.2

Допустим, что сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс и отвечающей абсциссе , имеет площадь . Тогда объем тела, в предположении его существования, выразится формулой

. (1.4)

Применим теперь эту формулу к вычислению объема цилиндрического бруса, о котором шла речь выше. Начнем с простого случая, когда в основании бруса лежит прямоугольник [a, b; с, d] (рис.1.3).

Рисунок. 1.3

Сечение бруса плоскостью есть криволинейная трапеция . Для нахождения ее площади спроектируем эту фигуру на плоскость . Получим конгруэнтную с ней трапецию (ибо проектирование происходит без искажения). Но уравнение линии на плоскости , очевидно, будет .

Пользуясь известным выражением площади криволинейной трапеции в виде определенного интеграла, будем иметь . Так как наше рассуждение относится к любому сечению, то вообще для . Подставляя это значение в формулу (1.4), получим . Но мы имеем для объема и выражение (1.2*), следовательно, - двойной интеграл приведен к повторному.

Аналогичный результат можно получить и для общего случая, когда область на плоскости представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми: и двумя прямыми и (рис. 1.4). Разница по сравнению с рассмотренным случаем состоит в следующем: раньше при любом фиксированным изменение происходило в одном и том же промежутке , а теперь этот промежуток сам зависит от , так что

.

Окончательно получим: .

Рисунок. 1.4