Определение двойного интеграла

Возьмем произвольную фигуру на плоскости, представляющую собой ограниченную и замкнутую область. Ее границу мы всегда будем представлять в виде замкнутой кривой (или нескольких таких кривых).

Определение 2. Область называется квадрируемой, если она имеет площадь.

Замечание 1. В дальнейшем будем рассматривать только квадрируемые области.

Пусть в области определена функция двух переменных . Разобьем область сетью кривых на конечное число элементарных областей соответственно с площадями . В каждой элементарной области возьмем по произвольной точке , значение функции в этой точке умножим на площадь соответствующей области и все подобные произведения сложим. Полученную сумму

(1.3)

будем называть интегральной суммой для функции f (x, y) по области (D).

Обозначим через наибольший из диаметров элементарных областей .

Определение 3. Если при стремлении к нулю наибольшего из диаметров существует конечный предел интегральной суммы(1.3), и он не зависит ни от способа разбиения области на элементарные области , ни от выбора точек в каждой элементарной области , то этот предел называется двойным интегралом от функции по области и обозначается .

Теорема 1. (необходимое условие существования двойного интеграла). Если функция интегрируема в ограниченной замкнутой области , то она ограничена в этой области.

Теорема 2. (достаточное условие существования двойного интеграла). Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она интегрируема в ней.

Из пункта 1.1. следует геометрический смысл двойного интеграла. Если функция неотрицательна: - и интегрируема в области , то двойной интеграл от функции по области равен объему тела, сверху ограниченного поверхностью , c боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , снизу – областью на плоскости : .