Задача об объеме цилиндрического бруса

Точно так же, как задача о площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приведет нас к новому понятию – двойного интеграла.

Рассмотрим тело (V), которое сверху ограничено поверхностью

z = f (x, y), (1.1)

c боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , снизу – плоской фигурой на плоскости (рис.1.1). Требуется найти объем тела.

Рисунок. 1.1

Для решения этой задачи мы прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разобьем область сетью кривых на части и рассмотрим рядцилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных цилиндрических столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке M_k . Если приближенно принять каждый столбик за цилиндр с высотой, равной аппликате , то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным , где означает площадь фигуры . В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

.

Определение 1. Если взять любые пары точек в области то верхняя грань множества расстояний между ними называется диаметром области, обозначается d.

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю наибольшего из диаметров d всех областей , это равенство делается точным, так что

, (1.2)

и поставленная задача решена.

Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции f (x,y) по области ; он обозначается символом или , так что формула (1.2) для объема принимает вид

. (1.2^*)

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных.