Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Пусть функция у = f(х) в точке х₀имеет конечную производнуюf(х₀). По определению производной получаем

Следовательно, при достаточно малых Δx имеет место приближенное равенство

или

НоΔ y = Δ f (х₀) – приращение функции, а f(х₀) Δx = d f (х₀) – дифференциал функции.

Поэтому окончательно получаем

(1)

Теорема 1. Пусть функция у = f(х) в точке х₀ имеет конечную производную f (х₀)≠0. Тогда для достаточно малых значений Δxимеет место приближенное равенство (1), которое становится сколь угодно точным при Δx → 0.

Таким образом, дифференциал функции в точке х₀ приближенно равен приращению функции в этой точке.

Т.к. то из равенства (1) получаем

при Δx → 0 (2)

или

при x → х₀ (2 )

Поскольку уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке х₀ имеет вид

, то приближенные равенства (1)-(2) геометрически означают, что вблизи точки x=x₀ график функции у=f(х) приближенно заменяется касательной к кривой у = f(х).

Рис. 2

При достаточно малых значениях полное приращение функции и дифференциал отличаются незначительно, т.е. . Это обстоятельство используется для приближенных вычислений.

Пример 1.Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию и положим х₀ = 4, х = 3,98. Тогда Δx = x – x₀ = – 0,02, f (x₀)= 2. Поскольку , то f(х₀)=1/4=0,25. Поэтому по формуле (2) окончательно получаем: .

Пример 2.С помощью дифференциала функции установить, на сколько приближенно изменится значение функции y=f(х)=(3x³+5)∙tg4x при уменьшении значения ее аргумента х₀ = 0 на 0,01.

Решение. В силу (1) изменение функции у = f(х) в точке х₀ приближенно равно дифференциалу функции в этой точке при достаточно малых значениях Dx:

Вычислим дифференциал функции df (0). Имеем Dx = –0,01. Так как f(х)= 9x²∙tg4x + ((3x³+5)/cos² 4x)∙4, то f (0)=5∙4=20 и df (0)=f (0)∙Δx= 20·(–0,01) = –0,2.

Поэтому Δf (0) ≈ –0,2, т.е. при уменьшении значения х₀ = 0 аргумента функции на 0,01 само значение функции y=f(х) приближенно уменьшится на 0,2.

Пример 3.Пусть функция спроса на товар имеет вид . Требуется найти объем спроса на товар при цене p₀=3 ден.ед. и установить, на сколько приближенно увеличится спрос при уменьшении цены товара на 0,2 ден.ед.

Решение. При цене p₀=3 ден.ед. объем спроса Q₀=D(p₀)=270/9=30 ед. товара. Изменение цены Δp = –0,2 ден. ед. В силу (1) ΔQ (p₀) ≈ dQ (p₀). Вычислим дифференциал объема спроса на товар.

Поскольку , то D(3) = –20 и

дифференциал объема спроса dQ (3) = D (3)∙Δp= –20·(–0,2) = 4. Следовательно, ΔQ (3) ≈ 4, т.е. при уменьшении цены товара p₀=3 на 0,2 ден.ед. объем спроса на товар увеличится приближенно на 4 ед.товара и станет равным приближенно 30+4=34 ед.товара.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется дифференциалом функции?

2. Каков геометрический смысл дифференциала функции?

3. Перечислите основные свойства дифференциала функции.

3. Напишите формулы, позволяющие находить приближенное значение функции при помощи её дифференциала.