Пусть точка M на графике функции y = f(x) соответствует значению аргумента x = x0, а точка N – значению аргумента x = x0 + Δx (рис. 1).
Тогда MA = Δx, AN = Δy. Проведем касательную к кривой y = f (x) в точке M. Пусть α – угол между этой касательной и осью Ox. Мы знаем, что tg α = f ′(x0). Рассмотрим прямоугольный треугольник MAB. Очевидно, MA = Δx, AB = MA ∙ tg α = Δx∙ tg α = f ′ (x0) Δx = dy.
Итак, в то время как приращение функции Δ y есть приращение ординаты кривой, то дифференциал функции dy является соответствующим прираще-нием ординаты касательной.
Рис. 1
Теорема 1. Дифференциал функции y = f (x) в точке х0 численно равен приращению ординаты касательной к графику функции y = f (x) в точке х0.
Вспомним уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке х0:
.
Перепишем его в виде 
. Отсюда получаем новое уравнение касательной, которое опять раскрывает геометрический смысл дифференциала функции:
.
Здесь слева – приращение ординаты касательной, а справа – дифференциал функции.
