Замечания

Определение числа как единственного числа, удовлетворяющего уравнению — ошибочно, так как число также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо , не вполне корректно, так как арифметический корень определяется над множеством неотрицательных чисел.

Во избежание ошибок, выражение с корнями отрицательных величин в настоящее время принято записывать как , а не , несмотря на то, что вплоть до конца XIX века второй вариант записи считался допустимым.

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:

Действия над комплексными числами

· Сравнение

означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

· Сложение

· Вычитание

· Умножение

· Деление

· В частности,

Геометрическая модель

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости с координатами (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной (или плоскостью Аргана). Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственновещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.

Связанные определения

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Пусть — комплексное число, где и — вещественные числа. Числа или и или называются соответственно вещественной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями .

· Если , то называется мнимым или чисто мнимым числом.

· Если , то является действительным (вещественным) числом.