Связь между приращением функции и дифференциалом функции

Из рис.4.1 видно, что разница между приращением функции и её дифференциалом равна величине . Оценим эту величину

Из определения производной функции имеем . Следовательно

разность есть величина бесконечно малая . Отсюда получаем равенство

Сформулируем полученный результат.

ТЕОРЕМА 4. 1.Если функция дифференцируема в точке , то имеет место формула линейного приближения функции

(4.5)

где величина есть бесконечно малая .

Формула (4.5) позволяет нам приближенно вычислять дифференцируемую функцию.

Ошибка при вычислении значения в точке с помощью дифференциала приближённо равна

(4.6)

Вычислим значение функции при с помощью калькулятора непосредственно и с помощью полученной формулы . Очевидно, что . Тогда вычисления на калькуляторе дают результат . Вычисления по формуле линейного приближения дают результат = . Абсолютная погрешность практически нулевая.

В заключение убедимся, что линейная часть есть дифференциал функции . Действительно .

Пример 4. 2. Вычислить значение двумя способами: а) используя калькулятор и в) используя формулу линейного приближения функции (5.5).

Решение. Вычисление с помощью калькулятора даёт результат 2.0004373. чтобы воспользоваться формулой(4.5) нужно задать начальную точку , приращение аргумента и вычислить производную функции . Возьмём ,а . . Тогда отбрасывая малую погрешность получаем приближенную формулу для вычисления

Отсюда .

Сравнивая результаты, оцениваем погрешность

Пример 4. 3. Приближенно измеренный радиус шара оказался равным 5 м. Используя формулу линейного приближения (4.5), оценить какова будет максимальная ошибка при вычислении объёма этого шара с использованием дифференциала. Для расчётов взять .

Решение. В формуле (4.5) полагаем в этом случае . Объём шара вычисляется по формуле . Объём при равен

Следовательно, и поэтому дифференциал . Дифференциал в нашем случае равен

По условию задачи мы должны взять . Отсюда получаем максимально допустимую ошибку при вычислении объёма с помощью дифференциала .

Инвариантность формулы дифференциала

Теорема 4. 2.Вид формулы дифференциала функции не изменится, если аргумент функции заменить новой переменной.

Доказательство. Пусть нам дана функция , тогда согласно формуле (4) её дифференциал равен , где независимая переменная. Если переменная сама становится зависимой . Тогда функция становится функцией, зависящей от переменной и её дифференциал будет равен .Применяя цепное правило, получаем

Вывод. Формула дифференциала справедлива независимо от того является ли переменное независимым или оно есть функция другого независимого переменного .

Дифференциал дуги графика функции .

На координатной плоскости рассмотрим график функции (рис.4.2).

Рис.4.2

Обозначим :

1) дугу графика между точками через ;

2) длину этой дуги через .

Обозначим :

1) хорду графика между точками через ;

2) длину этой дуги через .

Теорема 4.1.Если функция непрерывно дифференцируема, то бесконечно малые величины

и эквивалентны (см.гл.3, определение(4.2)).

Из рисунка 4.2 следует равенство или, разделив обе части на ,

получаем . Переходя к пределу и применяя результат теоремы 4.1

имеем равенство .

Отсюда

(4.7)

Замечание. Если кривая задана в параметрическом виде , то дифференциал длины дуги выражается формулой

(4.8)

Если кривая задана в полярной системе координат , то дифференциал длины дуги выражается формулой

(4.9)