Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).

Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности:

Составим вспомогательное ЛОДУ−I у¢+Р(x)у=0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть получим, что у=f(x)+C, где С=const – общее решение вспомогательного уравнения.

Теперь будем искать общее решение заданного уравнения в виде у=f(x)+C(х), где С(х) – некоторая теперь функция от х.

Найдём производную полученного выражения у¢ и подставим у и у¢ в заданное уравнение из которого выразим неизвестную функцию С(х) (заметим, что при данной подстановки два слагаемых в уравнении обязательно взаимно уничтожатся).

Подставим найденную функцию С(х) в общее решение заданного уравнения.

Задание 2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

y′ctgx+y=2 Метод Бернулли. Пусть y=uv, где u, v – неизвестные функции от х, тогда y′=u′v+uv′. Подставим полученные у и у′ в исходное уравнение: (u′v+uv′)ctgx+uv=2; u′vctgx+u(v′ctgx+v)=2; v′ctgx+v=0 Получили уравнение с разделяющимися переменными:

Определим функцию u: u′vctgx+u·0=2 Þ u′vctgx=2 Þ u′cosxctgx=2

Итак, у=2+Ccosx, где С=const – общее решение уравнения.

y′=y/х+2х² Метод Бернулли.

Задание 3. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

Метод Лагранжа. Составим вспомогательное уравнение:

- это уравнение с разделяющимися переменными, итак,

где С=const - общее решение вспомогательного уравнения. Ищем теперь общее решение заданного уравнения в виде:

, где С(х)- некоторая функция от х.

. Подставим полученные выражения в заданное уравнение и найдём С(х):

, где C^*=const,

- общее решение уравнения.

, у₀=0_,х₀=0 Метод Лагранжа. у=sinx+C*cosx - общее решение; у=sinx - частное решение (решение задачи Коши).

.Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка (ЛДУ−II)

ЛДУ−II называется уравнение вида: у²+Р(x)у¢+Q(x)у=R(x), где функции Р(х), Q(x), R(x) не зависят от х.

Если R(x)=0, то уравнение называется уравнением без правой части или однородным ЛОДУ−II.

Если R(x)≠0, то уравнение называется уравнением с правой части или неоднородным ЛНДУ−II.

ЛОДУ−II с постоянными коэффициентами.

ау²+bу¢+cу=0, где а, b, c – некоторые постоянные.

Составим характеристическое уравнение аk²+bk+c=0, которое в зависимости от D может иметь различные решения.

· если D>0, то аk²+bk+c=0 имеет два различных действительных корня k₁ и k₂, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

· если D=0, то аk²+bk+c=0 имеет два совпавших действительных корня k₁=k₂=k, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

· если D<0, то аk²+bk+c=0 имеет два различных комплексных корня k_1,2=a±bi, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

Задание 4. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:

D>0	D=0	D<0
у″-2y′-3у=0 Составим характеристическое уравнение: k²-2k-3=0, которое имеет два различных действительных корня у=С₁е^-х+С₂е^3х - общее решение, где .	у″-2y′+у=0 Составим характеристическое уравнение: k²-2k+1=0, которое имеет два совпавших действительных корня у=С₁е^х+хС₂е^х или у=е^х(С₁+С₂х) - общее решение, где .	у″+2y′+5у=0 Составим характеристическое уравнение: k²+2k+5=0, которое имеет два комплексных корня у=е^-х(С₁cos2x+С₂sin2x) - общее решение, где .
у″+3y′-4у=0	у″+4y′+4у=0	у″-2y′+10у=0
у″+y′-6у=0	у″-6y′+9у=0	у″+3у=0

ЛНДУ−II с постоянными коэффициентами.

ау²+bу¢+cу=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные.

Его общее решение имеет вид: , где

- общее решение ЛОДУ−II ау²+bу¢+cу=0;

- частное решение ЛНДУ−II ау²+bу¢+cу=R(x), которое ищется, в зависимости от правой части по одному из правил.

Правило 1: если правая часть R(x)=Р(х)е^kx, где Р(х) – какой-либо многочлен степени m, и если:

· k – не является корнем характеристического уравнения аk²+bk+c=0, то у*=Q(х)е^kx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.

· k – является однократным корнем характеристического уравнения (то есть один из неравных корней D>0) аk²+bk+c=0, то у*=хQ(х)е^kx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.

· k – является двукратным корнем характеристического уравнения (то есть один из равных корней D=0) аk²+bk+c=0, то у*=х²Q(х)е^kx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.

Замечание 1: Если множитель Р(х) – есть постоянная величина (многочлен нулевой степени), то Q(x) – тоже постоянная величина (многочлен нулевой степени).

Замечание 2: Если множитель R(х) –многочлен, то есть k=0, то y* тоже многочлен.

Правило 2: если правая часть R(x)=е^a^x(P₁(x)cosbx+P₂(x)sinbx) где P₁(x) и P₂(x) –многочлены соответственно степеней m₁ и m₂, и если:

· комплексные числа a±bi – не является корнями характеристического уравнения аk²+bk+c=0, то у*=е^a^x(Q₁(x)cosbx+Q₂(x)sinbx), где Q₁(x) и Q₂(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m₁ и m₂.

· комплексные числа a±bi – является корнями характеристического уравнения аk²+bk+c=0, то у*=хе^a^x(Q₁(x)cosbx+Q₂(x)sinbx), где Q₁(x) и Q₂(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m₁ и m₂.

Виды многочленов:

Многочлен n-ой степени	А₀хⁿ+А₁хⁿ^-1+…+А_n_-2х²+А_n_-1х+А_n или Ахⁿ+Вхⁿ^-1+…+Uх²+Vх+W	Примеры
Многочлен четвёртой степени	Ах⁴+Вх³+Сх²+Dх+E	х⁴-2х³+3х²+8, где А=1; В=-2; С=3; D=0; E=8;
Многочлен третьей степени	Ах³+Вх²+Сх+D	2х³-х²+4х, где А=2; В=-1; С=4; D=0;
Многочлен второй степени	Ах²+Вх+С	-х²+4х-3, где А=-1; В=4; С=-3;
Многочлен первой степени	Ах+В	х+8, где А=1; В=8;
Многочлен нулевой степени	А	1, где А=1.

Задание 5. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка и частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям:

k – не является корнем у=Q(х)е^kx*	k – является однократным корнем у=х·Q(х)е^kx*	k – является двукратным корнем у=х²·Q(х)е^kx*
у″-2y′-3у=8е^x, x₀=0, у₀=-2, у′₀=2. Составим ЛОДУ−II: у″-2y′-3у=0 Характеристическое уравнение: k²-2k-3=0 имеет два различных действительных корня `у=С₁е^-х+С₂е^3х - общее решение ЛОДУ−II, где С₁=const, С₂=const. Правая часть ЛНДУ−II имеет вид: R(x)=8е^x, (R(x)=Р(х)е^kx) Р(х)=8 – многочлен нулевой степени, k=1 – не является корнем, поэтому ищем решение в виде: у=Ае^x* у′=Ае^x* у″=Ае^x* Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II Ае^x-2Ае^x-3Ае^x=8е^x -4Ае^x=8е^x А=-2 у*=-2е^x- частное решение ЛНДУ−II. у=С₁е^-х+С₂е^3х-2е^x− общее решение ЛНДУ−II Ищем частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям, что x₀=0, у₀=-2, у′₀=2. у=С₁е^-х+С₂е^3х-2е^x у′=-С₁е^-х+3С₂е^3х-2е^x у=-е^-х+е^3х-2е^x− частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям.	у″-2y′-3у=-16хе^-^x, у(0)=-3, y¢(0)=1 Составим ЛОДУ−II: у″-2y′-3у=0 Характеристическое уравнение: k²-2k-3=0 имеет два различных действительных корня `у=С₁е^-х+С₂е^3х - общее решение ЛОДУ−II, где С₁=const, С₂=const. Правая часть ЛНДУ−II имеет вид: R(x)=-16хе^-х, (R(x)=Р(х)е^kx) Р(х)=-16х – многочлен первой степени, k=-1 – является однократным корнем, поэтому ищем решение в виде: у=х·(Ах+В)е^-^x=(Ах²+Вх)е^-^x у′=(-Ах²+2Ах-Вх+В)е^-^x у″=(Ах²-4Ах+Вх+2А-2В)е^-^x Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II (Ах²-4Ах+Вх+2А-2В)е^-^x-2(-Ах²+2Ах-Вх+В)е^-^x-3(Ах²+Вх)е^-^x=-16хе^-^x (-4Вх+2А-8Ах)е^-^x=-16хе^-^x А=2, В=1 у=(2х+1)е^-^x- частное решение ЛНДУ−II. у=С₁е^-х+С₂е^3х+(2х+1)е^-^x− общее решение ЛНДУ−II Ищем частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям, что у(0)=-3, y¢(0)=1. у=С₁е^-х+С₂е^3х+(2х+1)е^-^x у′=-С₁е^-х+3С₂е^3х+(-2х²+3х+1)е^-^x у=-3е^-х-е^3х+(2х+1)е^-^x− частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям.	у″+2y′+у=2е^-^x, у(0)=2, y¢(0)=1 Составим ЛОДУ−II: у″+2y′+у=0 Характеристическое уравнение: k²+2k+1=0 имеет два совпавших действительных корня `у=С₁е^-х+С₂хе^-х - общее решение ЛОДУ−II, где С₁=const, С₂=const. Правая часть ЛНДУ−II имеет вид: R(x)=2е^-^x, (R(x)=Р(х)е^kx) Р(х)=2 – многочлен нулевой степени, k=-1 – является двукратным корнем, поэтому ищем решение в виде: у=Ах²е^-^x у′=А(-х²+2х)е^-^x у″=А(х²-4х+2)е^-^x Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II А(х²-4х+2)е^-^x+2А(-х²+2х)е^-^x+Ах²е^-^x =8е^-^x 2Ае^-^x=2е^-^x А=1 у=х²е^-^x- частное решение ЛНДУ−II. у=С₁е^-х+С₂хе^-х+ х²е^-^x− общее решение ЛНДУ−II Ищем частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям, что у(0)=2, y¢(0)=1. у=С₁е^-х+С₂хе^-х+ х²е^-^x у′=-С₁е^-х+С₂е^3х-С₂хе^-х+2хе^x-х²е^x у=2е^-х+3хе^-х+ х²е^-^x − частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Задание 6. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:

a±bi – не являются корнями у*=е^a^x(Q₁(x)cosbx+Q₂(x)sinbx)

a±bi – являются корнями у*=хе^a^x(Q₁(x)cosbx+Q₂(x)sinbx)

у″+4у=(9x-3)sinx Составим ЛОДУ−II у″+4у=0 Характеристическое уравнение: k²+4=0 имеет два различных комплексны корня `у=С₁cos2x+С₂sin2x- общее решение ЛОДУ−II, где С₁=const, С₂=const. Правая часть ЛНДУ−II имеет вид: R(x)=(9x-3)sinx, (R(x)=е^a^x(P₁(x)cosbx+P₂(x)sinbx)) a=0, b=1; Р₁(х)=0 – многочлен нулевой степени, Р₂(х)=9x-3 – многочлен первой степени, a±bi=±i – не являются корнями, поэтому ищем решение в виде: у*=(Аx+В)cosx+(Cx+D)sinx у*′=(Сx+А+D)cosx+(-Аx-B+C)sinx у*″=(-Ax-B+2C)cosx+(-Cx-2A-D)sinx Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II (-Ax-B+2C)cosx+(-Cx-2A-D)sinx+ +4(Аx+В)cosx+4(Cx+D)sinx =(9x-3)sinx (3B+2C+3Ax)cosx+(-2A+3D+3Cx)sinx= =(9x-3)sinx

у*=-2cosx+(3x-1)sinx- частное решение ЛНДУ−II. у=С₁cos2x+С₂sin2x-2cosx+(3x-1)sinx− общее решение ЛНДУ−II

у″+2y′+10у=6е^-^xсos3x Составим ЛОДУ−II у″+2y′+10у=0 Характеристическое уравнение: k²+2k+10=0 имеет два различных комплексны корня `у=е^-х(С₁cos3x+С₂sin3x)- - общее решение ЛОДУ−II, где С₁=const, С₂=const. Правая часть ЛНДУ−II имеет вид: R(x)=е^-xсos3x, (R(x)=е^a^x(P₁(x)cosbx+P₂(x)sinbx)) a=-1, b=3; Р₁(х)=6 – многочлен нулевой степени, Р₂(х)=0 – многочлен нулевой степени, a±bi=-1±3i – являются корнями, поэтому ищем решение в виде: у*=хе^-^x(Acos3x+Bsin3x)=е^-^x(Aхcos3x+Bхsin3x) у*′=е^-x((A-Аx+3Bx)cosx+(B-3Аx-Bx)sinx) у*″=е^-x((-2A+6B-8Аx-6Bx)cosx+(-6A-2B+6Аx-8Bx)sinx) Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II е^-x((-2A+6B-8Аx-6Bx)cosx+ +(-6A-2B+6Аx-8Bx)sinx)+ +2 е^-x((A-Аx+3Bx)cosx+(B-3Аx-Bx)sinx)+ +10е^-x(Aхcos3x+Bхsin3x)=6е^-xсos3x е^-x(6Bcos3x-6Asin3x)=6е^-xсos3x

у*=е^-^xхsin3x- частное решение ЛНДУ−II. у=е^-х(С₁cos3x+С₂sin3x)+е^-^xхsin3x− общее решение ЛНДУ−II