Если ДУ−I имеет вид: Р(х)dx+Q(y)dy=0, в котором Р зависит только от х, а Q зависит только от у, то оно является ДУ−I с разделёнными переменными.
Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными представляется уравнением:
Если ДУ−I имеет вид: X1Y1dy+X2Y2dx=0, в котором X1 и X2 зависят только от х, а Y1 и Y2 зависят только от у, то оно является ДУ−I с разделяющимися переменными и приводится к ДУ−I с разделёнными переменными. Процесс приведения называется разделением переменных.
Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:
у′у=x
Итак,  , где C=const – общее решение уравнения.
Найдём частное решение этого уравнения удовлетворяющее начальным условиям
(решим задачу Коши):
у′у=x, х0=2, у0=0
Получим  .
Итак,  – частные решения уравнения, удовлетворяющие заданным условиям.
| у′cosx-ysinx=0
Итак,  , где C=const – общее решение уравнения.
|
| у′=-2xу
| у′=-у2
|
Линейное ДУ−I порядка (ЛДУ−I)
Пусть ДУ−I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется ЛДУ−I, если отношение M/N содержит у лишь в первой степени. ЛДУ−I принято записывать в виде у¢+Р(x)у=Q(x) где Р(x) и Q(x) непрерывные функции от х.
· Если Q(x)=0, то уравнение принимает вид у¢+Р(x)у=0 и оно называется ЛОДУ−I или линейным уравнением без правой части. В этом случае оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
· Если Q(x)≠0, то уравнение называется ЛНДУ−I или линейным уравнением с правой части. В этом случае его можно решить методом Бернулли или методом Лагранжа.
