Http://math.semestr.ru/line/analytic-geometry.php

Даны координаты вершин треугольника: A(-1,2), B(1,3), C(3,-4).
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i
здесь X,Y координаты вектора; x_i, y_i - координаты точки А_i; x_j, y_j - координаты точки А_j
Например, для вектора AB
X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁
X = 1-(-1) = 2; Y = 3-2 = 1
AB(2;1)

AC(4;-6)

BC(2;-7)

2) Длина сторон треугольника.
Расстояние d между точками M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂) определяется по формуле:




8) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-3/₂x + ¹/₂ или 2y + 3x - 1 = 0
7) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(1;-1)
Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(1;3) и М(1;-1), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
x - 1 = 0 или x = 1
Найдем длину медианы.
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:


9) Уравнение высоты через вершину B
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину B

y = ²/₃x + ⁷/₃ или 3y -2x - 7 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой AC.
Уравнение AC: y = ^-3/₂x + ¹/₂, т.е. k₁ = ^-3/₂
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1.
Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим :
^-3/₂k = -1, откуда k = ²/₃
Так как перпендикуляр проходит через точку B(1,3) и имеет k = ²/₃,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀).
Подставляя x₀ = 1, k = ²/₃, y₀ = 3 получим:
y-3 = ²/₃(x-1)
или
y = ²/₃x + ⁷/₃ или 3y -2x - 7 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AC:
Имеем систему из двух уравнений:
2y + 3x - 1 = 0
3y -2x - 7 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = ^-11/₁₃
y = ²³/₁₃
D(^-11/₁₃;²³/₁₃)
9) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины B
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой B(1;3) и прямой AC (2y + 3x - 1 = 0)


Длину высоты можно вычислить и по другой формуле, как расстояние между точкой B(1;3) и точкой D(^-11/₁₃;²³/₁₃).
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

|BD|=(−1113−1)2+(2313−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(2413)2+(1613)2−−−−−−−−−−−−−−−√=6413−−−√=8113−−−√

Чертеж

Задание №5: