По координатам вершин пирамиды найти

Даны координаты пирамиды: A(4,2,5), B(-3,5,6), C(2,-3,-2), D(9,4,18)
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i
здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i - координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j - координаты точки А_j;
Например, для вектора AB
X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁; Z = z₂ - z₁
X = -3-4; Y = 5-2; Z = 6-5
AB(-7;3;1)
AC(-2;-5;-7)
AD(5;2;13)
BC(5;-8;-8)
BD(12;-1;12)
CD(7;7;20)

2) Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между ребрами.
Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂
Найдем угол между ребрами AB(-7;3;1) и AC(-2;-5;-7):

γ = arccos(0.118) = 96.775⁰

4) Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB(-7;3;1) и AC(-2;-5;-7):


Площадь грани ABC

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

= i(3 • (-7)-(-5) • 1) - j((-7) • (-7)-(-2) • 1) + k((-7) • (-5)-(-2) • 3) = -16i - 51j + 41k

5) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3

-7 -2 -5 -7

Находим определитель матрицы
∆ = (-7) • ((-5) • 13-2 • (-7))-(-2) • (3 • 13-2 • 1)+5 • (3 • (-7)-(-5) • 1) = 351
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁; z₁) и A₂(x₂; y₂; z₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AD(5,2,13)

8) Уравнение плоскости.
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости ABC

(x-4)(3 • (-7)-(-5) • 1) - (y-2)((-7) • (-7)-(-2) • 1) + (z-5)((-7) • (-5)-(-2) • 3) = -16x - 51y + 41z-39 = 0

10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины D(9,4,18)
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁;z₁) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

Уравнение плоскости ABC: -16x - 51y + 41z-39 = 0


11) Уравнение высоты пирамиды через вершину D(9,4,18)
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости ABC: -16x - 51y + 41z-39 = 0

ИЛИ