Дано уравнение кривой:
2x2 + 8x - y = 0
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение.
Приводим квадратичную форму
B = 2x2
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:
Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
(2 - λ)x1 + 0y1 = 0
0x1 + (0 - λ)y1 = 0
Характеристическое уравнение:
λ2 -2 λ + 0 = 0
D = (-2)2 - 4 • 1 • 0 = 4
Исходное уравнение определяет параболу (λ2 = 0)
Вид квадратичной формы:
2x2
Выделяем полные квадраты:
для x1:
2(x12+2•2x1 + 22) -2•22 = 2(x1+2)2-8
Преобразуем исходное уравнение:
Получили уравнение параболы:
(x - x0)2 = 2p(y - y0)
Ветви параболы направлены вверх (p>0), вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (-2;-8)
Параметр p = 1/4
Координаты фокуса:
Уравнение директрисы: y = y0 - p/2
y = -8 - 1/8 = -65/8
Задание №6:
