Http://otvet.mail.ru/question/48381063

Http://math.semestr.ru/matrix/vector-basis.php

Http://matematikam.ru/vectors/basis-expansion.php

http://otvet.mail.ru/question/48381063

Координаты вектора в базисе.
Разложить вектор а = (5;11;11) по векторам е1, е2, е3
Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы е1, е2, е3 базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор а нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:
∆ = 3*(3*3 - 1*1) - 2*(2*3 - 1*2) + 1*(2*1 - 3*2) = 12
Определитель матрицы равен ∆ =12
Так как определитель отличен от нуля, то векторы е1, е2, е3 образуют базис, следовательно, вектор а можно разложить по базисным векторам, т.е. представить в виде:

где α, β, γ - коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство:
5i + 11j + 11k = α(3i + 2i + 2i) + β(2j + 3j + 1j) + γ(1k + 1k + 3k) = (3α + 2β + 1γ)i + (2α + 3β + 1γ)j + (2α + 1β + 3γ)k
В координатной форме это равенство примет вид:
3α + 2β + γ = 5
2α + 3β + γ = 11
2α + β + 3γ = 11
Следовательно, нужно решить полученную систему. Используем метод Гаусса.
Ответ:

Следовательно

ИЛИ

Решение:
Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:

x₁ a₁ + x₂ a₂ + x₃ a₃ = b

Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гауса

1-ую строку делим на 3

		2/3	1/3	5/3

от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 2; 2

		2/3	1/3	5/3
	5/3	1/3	23/3
	-1/3	7/3	23/3

2-ую строку делим на 5/3

		2/3	1/3	5/3
		0.2	4.6
	-1/3	7/3	23/3

от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 2/3; -1/3

			0.2	-1.4
		0.2	4.6
		2.4	9.2

3-ую строку делим на 2.4

			0.2	-1.4
		0.2	4.6
			23/6

от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 0.2; 0.2

				-13/6
			23/6
			23/6

Ответ:

Задание №3: