Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Определение 2.14. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

(2.6)

где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Определение 2.15. Решением линейной системы (2.6) называется набор чисел которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в тождество.

Определение 2.16. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение 2.17. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение 2.18. Для системы линейных уравнений вида (2.6) матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А^*= называется расширенной матрицей системы

Терема Кронекера – Капелли(критерий совместимости системы)

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Определение 2.19. Если b₁, b₂, …,b_m = 0, то система называется однородной. Однородная система всегда совместна.

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

A×X = B. (2.7)

Рассмотрим частный случай системы (2.6), когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. m = n. Пусть квадратная матрица А является невырожденной, т.е. существует обратная матрица А^-1 . Умножим обе части уравнения (2.7) слева на А^-1, получим решение системы (2.6, m = n) в матричной форме

X = A^-1 B. (2.8)

Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.