Определители

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие некоторое число, называемое определителем этой матрицы.

Обозначение: det A (или | A | или Δ_A ).

Определение 2.6. Определителем матрицы 1–го порядка (т.е. матрицы, состоящей из одного элемента, одного числа) называется само число, составляющее заданную матрицу.

Определение 2.7. Определителем матрицы 2-го порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

.

Определение 2.8. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле:

При вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников, которое символически можно представить так:

Примеры. Вычислить определители третьего порядка

1.

2.

Для вычисления определителя матриц 4-го и более высоких порядков рассмотрим дополнительные понятия. Рассмотрим определитель матрицы А n-го порядка

Δ_n = .

Определение 2.9. Выделим в нём какой-либо элемент a_ij и вычеркнем i-ю строку и j-й столбец, на пересечении которых расположен этот элемент. Полученный определитель (n-1)–го порядка называется минором M_ij элемента a_ij определителя Δ_n.

Определение 2.10. Наибольший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля, называется рангом матрицы.

Определение 2.11. Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя Δ_n называется число

A_ij = (-1)^i+j M_ij.

Определение 2.12. Определителем n-го порядка Δ_n вычисляетсясуммой произведения элементов любой строки (столбца)на их алгебраические дополнения

Δ_n = = , 1 ≤ i,k ≤ n. (2.4)

Пример. Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :

Следовательно,

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель Δ = det A ≠ 0. В противном случае (Δ = 0) матрица А называется вырожденной.

Определение 2.13. Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие

А А^-1 = А^-1 А = Е , (2.5)

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Отметим, что для вырожденной матрицы обратная матрица не существует.

Основные свойства определителей.

1. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен нулю.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий две одинаковы строки (одинаковые столбцы),

равен нулю.

4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак оп-

ределителя.

5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя Δ_n представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей. Поясним это на примере определителя 3-го порядка

6. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

7. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить определители

1) . 2) . 3) .

4) . 5) . 6) .