Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Определение 2.5. Произведением матрицы 
на матрицу 
называется матрица 
такая, что
,
т.е. элемент i-ой строки и k го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.
Получение элемента 
схематично изображается так:
Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведение А∙В и В∙А всегда существуют. Легко показать, что А∙Е = Е∙А=А , где А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.
Пример
, 
. Тогда произведение матриц А 
В определяется следующим образом:
А В = 
∙ 
= 
= 
.
При этом произведение В А не определено, так как число столбцов матрицы В(3) не совпадет с числом строк матрицы А(2).
Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА.
Умножение матриц обладает следующими свойствами
1. А ∙ (В ∙ С)= (А ∙ В) ∙ С; 3. (А + В) ∙ С = А∙С + В∙С ;
2. А ∙ (В + С) = А∙В + А∙С ; 4. α ∙ (А ∙ В)= (α∙А) ∙ В ,
если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.
Для операции транспонирования верны свойства:
1. (А+В)Т = АТ + ВТ; 2. (А∙В)Т = АТ ∙ ВТ.
