Интегрирование рациональных дробей.

Рациональной функцией называется функция вида , где и - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена меньше степени многочлена . Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде , где - некоторые многочлены, а - правильная рациональная дробь.

Теорема. Пусть - правильная рациональная дробь, и - многочлены с действительными коэффициентами. Если многочлен представляет собой , где - попарно различные действительные корни многочлена кратности а , где и - попарно различные при разных комплексно-сопряженные корни многочлена кратности , то существуют действительные числа и , такие, что

При выполнении разложения вида (*) для конкретно заданной дроби оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем. Для данной дроби пишется разложение (*), в котором коэффициенты считаются неизвестными . После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты. При этом если степень многочлена равна , то получаем систему уравнений с неизвестными. Решая ее, находим неизвестные коэффициенты.

Теорема. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно, он является алгебраической суммой суперпозиций рациональных дробей, арктангенсов и натуральных логарифмов.