При этом способе используют формулу интегрирования по частям
∫udv=uv-∫vdu (*)
К числу интегралов, вычисляемых по частям, относятся, например, интегралы вида ∫P(x)·f(x)dx, где P(x)- многочлен (в частности, степенная функция), а f(x)- одна из следующих функций: ex, sinax, cosax, lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. При этом для интегралов вида ∫P(x)·eaxdx, ∫P(x)sinaxdx, ∫P(x)cosaxdx, в качестве “u” принимают многочлен P(x), а для интегралов вида ∫P(x)arcsinxdx, ∫P(x)arccosxdx, ∫P(x)arctgxdx, ∫P(x)arcctgxdx, ∫P(x)lnxdx в качестве “u” принимается lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.
Пример. Решить методом интегрирования по частям ∫xlnxdx.
Решение. Согласно данным выше рекомендациям, заменим lnx=u, а оставшееся выражение xdx=dv. Найдем du=d(lnx)=dx/x и функцию v из равенства dv=xdx. Тогда ∫dv=∫xdx, откуда v=x2/2 (полагаем С=0). Теперь, зная u=lnx, v=x2/2 и du=dx/x, применим формулу интегрирования по частям ∫udv = uv-∫vdu. В нашем примере имеем:
∫lnx·xdx= 
или ∫xlnxdx= 
.
Примечание: В некоторых случаях для приведения интеграла к табличному виду формулу интегрирования по частям применяют последовательно несколько раз.
