Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы вида

могут быть всегда приведены к интегралам от рациональных функций при помощи подстановки

При этом функции подынтегрального выражения выражаются через новые переменные

; ;

Если при этом подынтегральная функция удовлетворяет соотношению

то выгодно применить подстановку . Например, с помощью этой подстановки интеграл

где — нечетное число, а — четное, с соответствующей заменой

приводится к интегралу от рациональной функции.

Если эта функция удовлетворяет соотношению

то выгодно применить подстановку . Например, с помощью этой подстановки интеграл

где — четное число, а — нечетное, с соответствующей заменой

приводится к интегралу от рациональной функции.

Если эта функция удовлетворяет соотношению

то выгодно применить подстановку . Например, с помощью этой подстановки интеграл

где — четные числа, с соответствующей заменой

; ;

приводится к интегралу от рациональной функции.

Примеры:

2.6.1. Найти интеграл: .

■ Подынтегральная функция является нечётной относительно синуса и косинуса. Применим подстановку: , тогда .

Первоначальный интеграл примет вид:

.◄

2.6.2. Найти интеграл: .

■ Подынтегральная функция нечётная относительно косинуса. Интеграл рационализируется с помощью подстановки: .

Тогда первоначальный интеграл примет вид:

.◄

2.6.3. Найти интеграл: .

■ Подынтегральная функция нечётная относительно синуса. Рационализируется с помощью подстановки:

.

С учётом замены первоначальный интеграл примет вид:

.

Выделяя целую часть в подынтегральном выражении, получим:

.◄

2.6.4. Найти интеграл:

■ Подынтегральная функция нечётная относительно косинуса. Рационализируется интеграл с помощью подстановки:

.

Исходный интеграл примет вид:

.◄

2.6.5. Найти интеграл:

■ Подынтегральная функция чётная относительно синуса и косинуса.

Применим подстановку:

.

С учётом подстановки первоначальный интеграл примет вид:

.

Подынтегральная функция – рациональная дробь.

Разложим её на сумму простых дробей:

.

;

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями при :

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях .

.

Решим систему линейных уравнений:

Тогда первоначальный интеграл примет вид:

.◄

2.6.6. Найти интеграл:

■ Подынтегральная функция чётная относительно синуса и косинуса.

Введём новую переменную:

С учётом подстановки первоначальный интеграл примет вид:

Выделим в знаменателе дроби неполный квадрат:

.

Введём новую переменную:

Подставив в знаменатель дроби исходного интеграла неполный квадрат и новую переменную, получим:

.◄

2.6.7. Найти интеграл:

■ Подынтегральная функция - нечётная относительно косинуса. Применим подстановку:

С учётом введения новой переменной исходный интеграл примет вид:

.◄

2.6.8. Найти интеграл:

■ Подынтегральная функция - нечётная относительно косинуса и синуса.

Преобразуем её следующим образом:

.

Введём новую переменную:

.

С учётом этой замены первоначальный интеграл примет вид:

.◄

2.6.9. Найти интеграл:

■ Подынтегральная функция - нечётная относительно косинуса и тангенса.

Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

С учётом подстановки первоначальный интеграл примет вид:

.◄