Интегрирование иррациональных функций

2.5.1. Интегралы вида

где — рациональные числа, приводятся к интегралам от рациональных функций подстановкой

где общий знаменатель дробей .

Примеры.

2.5.1.1. Найти интеграл:

n Положим , тогда , т. е. ;

Представляя рациональную функцию как сумму простsх дробей, получим:

2.5.1.2. Найти интеграл:

n Положим , тогда , т. е. . Первоначальный интеграл примет вид:

.ƒ

2.5.1.3. Найти интеграл:

n Подынтегральную функцию преобразуем к виду:

Полагая , имеем:

, , ,

тогда:

2.5.2. Интегралы вида

(интегралы от биномиальных дифференциалов), где — действительные числа, а — рациональные, выражаются в элементарных функциях только в следующих случаях:

(а) когда — целое число; тогда этот интеграл рационализируется подстановкой , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей и .

(б) когда — целое число, то подстановкой этот интеграл преобразуется к виду

В этом случае рационализация подынтегрального выражения осуществляется подстановкой

где - знаменатель дроби .

(в) когда — целое число, то при помощи той же подстановки данный интеграл приводится к

Здесь мы будем использовать подстановку

Примеры:

2.5.2.1. Найти интеграл: .

■ В подынтегральном выражении – целое число.

Здесь случай (а). Применим подстановку:

; . Тогда ; . Здесь 6 – наименьшее общее кратное чисел 2 и 3.

Первоначальный интеграл примет вид:

И, наконец, переходя к первоначальной переменной , получим:

.◄

2.5.2.2.Найти интеграл: .

■ Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

Тогда первоначальный интеграл примет вид:

- целое число. Имеем место случай (a). Применим подстановку: ; т. е. , получим: . Откуда

; .

Следовательно, .

С учётом подстановки первоначальный интеграл примет вид:

Знаменатель подынтегральной дроби имеет действительные корни.

Разложим подынтегральную функцию: на сумму простых дробей:

Приведём к общему знаменателю и приравняем числители обеих частей уравнения:

;

Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях :

;

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях и решим систему уравнений:

Тогда исходный интеграл примет вид:

.◄

2.5.2.3. Найти интеграл: .

■ Преобразуем подынтегральную функцию: .

В интеграле - целое число.

Имеем случай (б). Применим подстановку Чебышева или .

Тогда ; ; ; ;

Тогда исходный интеграл примет вид:

.◄

2.5.2.4. Найти интеграл:

n Перепишем подынтегральное выражение в виде:

При , , и . Очевидно, имеет место случай (в). Так как , то полагая , получаем , откуда

Следовательно,

.ƒ

2.5.2.5. Найти интеграл:

n Перепишем подынтегральное выражение в виде:

При , , и . Очевидно, имеет место случай (в). Так как , то полагая , получаем , откуда

Следовательно,

2.5.2.6.Найти интеграл:

■ Преобразуем подынтегральную функцию:

В интеграле - целое число. Имеем случай (б). Применим подстановку Чебышева: или . Тогда ;

Тогда исходный интеграл примет вид:

Перейдём к первоначальной переменной :

Так как , то

.◄

2.5.2.7. Найти интеграл: .

■ Преобразуем подынтегральную функцию:

Тогда исходный интеграл примет вид:

В интеграле - целое число. Имеем случай (б). Положим или . Дифференцируя последнее равенство, получаем: . Откуда: . С учётом замены первоначальный интеграл примет вид:

Подынтегральная функция - рациональная дробь. Разложим знаменатель дроби на множители: .

Так как один корень знаменателя – действительный, а другой не является действительным, представим подынтегральную дробь в виде суммы простых дробей:

Приведём к общему знаменателю и приравняем числители обеих частей уравнения:

;

Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях :

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях .

Получим систему уравнений:

Следовательно,

Введём новую переменную , .

Тогда интеграл примет вид:

.◄

2.5.2.8. Рационализация подынтегрального выражения в интегралах вида

достигается с помощью, по крайней мере, одной из следующих трех подстановок, называемых подстановками Эйлера

(а) при ;

(б) при ;

(в) при условии, что корни и уравнения действительны.

Следует иметь в виду, что подстановки (а) – (в) часто приводят к громоздким вычислениям. Поэтому обычно применяют другие способы.

Заметим, что подынтегральную функцию можно представить в виде

где и - рациональные дроби. Записывая в виде суммы многочлена и суммы простых дробей, сведем интеграл к линейной комбинации интегралов следующих трех типов:

(а) ;

(б) , ;

(в) , , .

При нахождении интеграла (а), где — многочлен степени , удобно использовать формулу

В этой формуле — многочлен степени не выше , — некоторое число. Дифференцируя тождество и умножая затем обе части получаемого соотношения на , находим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , вычислим коэффициенты многочлена и число . Интеграл в правой части сводится к табличному с помощью линейной подстановки.

Рассмотрим случай (б). Подстановкой этот интеграл сводится к интегралу (а).

Рассмотрим интеграл (в). Пусть существует число такое, что для всех выполняется равенство , т.е. , , то интеграл (в) можно представить в виде линейной комбинации интегралов

и .

Интеграл сводится к табличному, а интеграл подстановкой Абеля

сводится к интегралу от многочлена.

Если , то используется подстановка

где числа и подбираются такими, чтобы коэффициенты при в квадратных трехчленах подынтегральной функции обратились в нуль. При этом интеграл (в) примет вид

, ()

где — многочлен степени , .

Если , но , то можно применить подстановку .

Чтобы найти интеграл, разложим правильную рациональную дробь на простые дроби и представим интеграл в виде линейной комбинации интегралов вида

и .

Интеграл вычисляется с помощью подстановки , а интеграл — с помощью подстановки Абеля .

Примеры:

2.5.1. Найти интеграл:

n Данный интеграл относится к случаю (а).

Полагаем

Продифференцируем это тождество. Получим:

Откуда получаем:

Для нахождения неопределённых коэффициентов получим систему уравнений:

Откуда: .

Следовательно,

2.5.2. Найти интеграл:

n Данный интеграл относится к случаю (б). Введём подстановку .

Тогда интеграл приводится к виду, рассмотренному в предыдущей задаче.

Положим тогда и для имеем:

, ƒ

2.5.3. Найти интеграл:

n Данный интеграл относится к случаю (в).

Полагаем

Тогда:

Откуда:

Дифференцируя равенство , получим:

Откуда:

Итак,

Поэтому:

.ƒ

2.5.4. Найти интеграл .

nДанный интеграл относится к (в), причём . Положим . Подберём числа и так, чтобы коэффициенты при в квадратных трехчленах подынтегральной функции обратились в нуль. Так как