Интегрирование рациональных функций

Дробно-рациональной функцией (дробью) называется выражение вида

где и — многочлены степени и , не имеющие общих корней, т.е.

Дробь называется правильной если ; неправильной в противном случае. Каждую неправильную дробь можно привести к правильной путем исключения целой части, интегрирование которой не представляет сложностей.

В курсе высшей алгебры доказывается теорема, о том, что любая правильная дробь может быть представлена в виде конечного числа простых дробей.

Если — корни уравнения , а — их соответствующие кратности, так что

то дробь представляется в виде

где числители отдельных дробей определяются из системы линейных уравнений после приведения к общему знаменателю и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях с (метод неопределенных коэффициентов).

Если — простые корни уравнения , т.е. , то

Если некоторые корни уравнения мнимы, то, соединяя вместе элементарные дроби, соответствующие сопряженным корням, можно после некоторых преобразований соответствующие пары дробей представить в виде действительных дробей вида

.

и методом неопределенных коэффициентов найти неизвестные и

Таким образом, интегрирование правильной рациональной дроби приводится к интегралам вида

и

рассмотренных в предыдущем п.3.

Примеры:

2.4.1. Найти интеграл: .

n 1. В подынтегральном выражении

максимальная степень при переменной в числителе равна максимальной степени при переменной в знаменателе. Поэтому подынтегральная дробь – неправильная. Выполняя деление на , получаем

следовательно,

.

2. Так как подынтегральная функция — правильная рациональная дробь, а корни её знаменателя являются вещественными и простыми (их кратность равна единице), то

,

откуда

.

Сравнивая коэффициенты при , , (свободные члены) в тождестве, получаем систему

решение которой , , .

Тогда,

.ƒ

2.4.2. Найти интеграл:

n Так как подынтегральная функция — правильная рациональная дробь, а корни её знаменателя являются вещественными, то представляя в виде суммы простых дробей

,

откуда

.()

Сравнивая коэффициенты при , , , (свободные члены) в тождестве, получаем систему

решение которой .

Тогда

.ƒ

2.4.3. Найти интеграл:

n Подынтегральная функция — правильная дробь и представляя её в виде суммы простых дробей

,

откуда

,

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему

решение которой .

Тогда

ƒ

2.4.4. Найти интеграл:

■ Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет различные действительные корни.

Представим её в виде суммы элементарных дробей:

.

Откуда: ;

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях и решим систему линейных уравнений:

Первоначальный интеграл примет вид:

.◄